« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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== Exercice 1-6 ==
#Montrer que pour tout <math>(p,q,r)\in\N^3</math>, <math>X^{3p}+X^{3q+1}+X^{3r+2}</math> est divisible par <math>X^2+X+1</math>.
#Pour quelles valeurs de l'entier <math>n</math> le polynôme <math>X^{2n}+X^n+1</math> est-il divisible par <math>X^2+X+1</math> ?
{{Solution|contenu=
#Il suffit de vérifier que <math>\mathrm j</math> (donc aussi <math>-\bar{\mathrm j}</math>) est racine de ce polynôme.<br><math>\mathrm j^{3p}+\mathrm j^{3q+1}+\mathrm j^{3r+2}=1+\mathrm j+\mathrm j^2=0</math>.<br>(Ou par triple récurrence.)
#<math>\mathrm j^{2n}+\mathrm j^n+1=0\Leftrightarrow\mathrm j^n=\mathrm j\text{ ou }\mathrm j^2\Leftrightarrow n\equiv1\text{ ou }2\bmod3</math>, donc <math>X^{2n}+X^n+1</math> est divisible par <math>X^2+X+1</math> si et seulement si <math>n</math> n'est pas un multiple de <math>3</math>.
 
<math>\mathrm j^{3p}+\mathrm j^{3q+1}+\mathrm j^{3r+2}=1+\mathrm j+\mathrm j^2=0</math>.
 
(Ou par triple récurrence.)
}}
Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, le polynôme <math>P_n=(X+1)^{6n+1}-X^{6n+1}-1</math> est divisible par <math>(X^2+X+1)^2</math>.
#Pour quelles valeurs de l'entier <math>n</math> le polynôme <math>X^3+1</math> divise-t-il le polynôme <math>X^{3n}+1</math> ?
#Montrer que <math>(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}</math> est divisible par <math>X^2-X+1</math>.
#Pour quels triplets <math>(s,t,u)\in\N^3</math> le polynôme <math>X^{3s}-X^{3t+1}+X^{3u+2}</math> est-il divisible par <math>X^2-X+1</math> ?
{{Solution|contenu=
#<math>X^3+1</math> a 3 racines simples : <math>-1</math>, <math>-\mathrm j</math> et <math>-\bar{\mathrm j}</math>. Il divise donc <math>X^{3n}+1</math> si et seulement si <math>(-1)^{3n}+1=0</math> et <math>(-\mathrm j)^{3n}+1=0</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] si <math>n</math> est impair.
#<math>X^2-X+1=\frac{X^3+1}{X+1}</math> a 2 racines simples : <math>-\mathrm j</math> et <math>-\bar{\mathrm j}</math>, et <math>(-\mathrm j-1)^{n+2}+(-\mathrm j)^{2n+1}=(\mathrm j^2)^{n+2}-\mathrm j^{2n+1}=\mathrm j^{2n+1}\left(\mathrm j^3-1\right)=0</math>.
#<math>(-\mathrm j)^{3p3s}+-(-\mathrm j)^{3q3t+1}+(-\mathrm j)^{3r3u+2}=(-1)^s+(-1)^t\mathrm j+(-1)^u\mathrm j^2=0</math> si et seulement si <math>s,t,u</math> sont de même parité.
}}
 
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