« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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Ligne 196 :
#<math>a,b=1\pm2\mathrm i</math>.
#<math>P=(X^2-2X+5)(X+1+\sqrt2)(X+1-\sqrt2)</math>.
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==Exercice 1-15==
Décomposer le polynôme <math>X^4+16</math> en produit d'irréductibles dans <math>\R[X]</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\forall z\in\C\quad z^4=-16=16\mathrm e^{\mathrm i\pi }\Leftrightarrow z\in\{z_0,z_1,z_2,z_3\}</math> avec <math>z_k=2\mathrm e^{\mathrm i((\pi/4)+(k\pi/2))}</math> [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>z_0=2\mathrm e^{\mathrm i\pi /4}</math>, <math>z_1=\mathrm iz_0</math>, <math>z_2=-z_0=\overline{z_1}</math>, <math>z_3=-\mathrm iz_0=\overline{z_0}</math>, donc <math>X^4+16=P_0P_1</math> avec <math>P_k=(X-z_k)(X-\overline{z_k})=X^2-2\mathrm{Re}(z_k)X+|z_k|^2=X^2-4\cos(\pi/4+k\pi/2)+4</math>, c.-à-d. <math>P_0=X^2-2\sqrt2X+4</math> et <math>P_1=X^2+2\sqrt2X+4</math>.
}}
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