« Continuité et variations/Exercices/Variations d'une fonction » : différence entre les versions

</math>
}}
==Exercice 4-23==
Soit <math>f</math> définie par <math>f(x)=\sqrt{8-x^3}</math>.
 
\end{array}
</math>
}}
 
==Exercice 4-4==
Soit <math>f</math> définie sur <math>\R\setminus\{1\}</math>.
 
On donne ci-dessous son tableau de variations sur <math>\left]1,+\infty\right[</math> :
:<math>\begin{array}{c|ccccccc|}
x&1&&3&&+\infty\\
\hline
&+\infty&&&&+\infty\\
f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\
&&&\frac52&&\\
\hline
\end{array}
</math>
De plus on admet que sur son domaine, <math>f</math> peut s'écrire sous la forme
:<math>f(x)=ax+\frac b{x-c}</math> où <math>a,b,c\in\R</math>.
#Déterminer <math>c</math>.
#Calculer <math>f'</math> et en déduire une relation entre <math>a</math> et <math>b</math>.
#Le tableau de variations nous fournit les coordonnées d'un point particulier du graphe de <math>f</math>. En déduire une seconde relation entre <math>a</math> et <math>b</math>.
#Déterminer <math>a</math> et <math>b</math>.
#Montrer que la représentation graphique de <math>f</math> admet un centre de symétrie.
{{Solution|contenu=
#L'asymptote verticale a pour abscisse <math>c=1</math>.
#<math>f'(x)=a-\frac b{(x-c)^2}</math> donc <math>0=f'(3)=a-\frac b{(3-1)^2}</math>, soit <math>b=4a</math>.
#<math>\frac52=f(3)=3a+\frac b{3-1}=3a+\frac b2</math>, soit <math>6a+b=5</math>.
#<math>5-6a=4a\Rightarrow a=\frac12</math>, et <math>b=4a=2</math>.
#<math>f(1+t)=\frac{1+t}2+\frac2t=g(t)+\frac12</math> avec <math>g</math> impaire, donc le graphe de <math>f</math> est symétrique par rapport au point <math>(1,1/2)</math>.
}}
 
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