« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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Ligne 115 :
==Exercice 2-8==
Donner une base du noyau de chacune des
#<math>E=K^2</math>, <math>F=K</math>, <math>f(x, y) = x - y</math>.
#<math>E=K^3</math>, <math>F=K</math>, <math>f(x, y, z) = x + 2y - z</math>.
Ligne 127 :
#*Si <math>a=0</math>, <math>\ker f</math> est le plan de base <math>\left((1,1,-1,0),(0,1,0,1)\right)</math>.
#*Si <math>a\ne0</math>, <math>\ker f</math> est la droite de base <math>\left((0,1,0,1)\right)</math>.
}}
Donner une base de l'image de chacune des applications linéaires <math>f:E\to F</math> suivantes.
#<math>E=\R</math>, <math>F=\R^2</math>, <math>f(x)=(3x,-3x)</math>.<!--SVP NE PAS REMPLACER \R par K dans cette question, car il est important que la caractéristique du corps soit différente de 3-->
#<math>E=\R^2</math>, <math>F=\R^3</math>, <math>f(x, y) =(x+2y, 3x+2y)</math>.<!--SVP NE PAS REMPLACER \R par K dans cette question, car il est important que la caractéristique du corps soit différente de 2-->
#<math>E=F=K^3</math>, <math>a\in K</math>, <math>f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a + 2 & -3 & -1 \\
-a + 1 & -1 & 0 \\
1 & -3 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\left((1,-1)\right)</math>.
#<math>\left((1,3),(1,1)\right)</math>.
#Une famille génératrice de <math>\operatorname{im} f</math> est <math>\left(\begin{pmatrix}-a + 2\\-a + 1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\-1\\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \\0 \\-2\end{pmatrix}\right)</math>, ou (en remplaçant la deuxième colonne <math>C_2</math> par <math>C_3-C_2</math>) <math>\left(\begin{pmatrix}-a + 2\\-a + 1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \\0 \\-2\end{pmatrix}\right)</math>, ou (en remplaçant la première colonne <math>C_1</math> par <math>C_1-C_2</math>) <math>\left(\begin{pmatrix}-a\\-a\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \\0 \\-2\end{pmatrix}\right)</math>.
#*Si <math>a=0</math>, <math>\operatorname{im} f</math> est le plan de base <math>\left(\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \\0 \\-2\end{pmatrix}\right)</math>.
#*Si <math>a\ne0</math>, <math>\operatorname{im} f</math> a pour base <math>\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \\0 \\-2\end{pmatrix}\right)</math> donc est égal à <math>K^3</math> tout entier.
}}
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