Application linéaire/Exercices/Noyau et image
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.
Exercice 2-1
modifierSoient .
- Montrer que :
- ;
- ;
- ;
- .
- La question 1.4 se généralise facilement au cas où et (avec trois K-e.v. non nécessairement égaux). Généraliser de même (sans démonstration) les questions 1.1, 1.2 et 1.3.
-
- .
- .
- .
- .
- Les questions 1.1, 1.2 et 1.3 se généralisent respectivement au cas où :
- ;
- ;
- .
Exercice 2-2
modifierSoient tels que , et .
Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.
- . De même, et . Les trois noyaux sont donc égaux.
- . De même, et . Les trois images sont donc égales.
Exercice 2-3
modifierSoient .
- Vérifier que et .
- Montrer que .
- Montrer que .
- donc . On a donc bien .
D'autre part (comme pour toutes applications de dans , même non linéaires) . - D'après la question 1, il reste à démontrer que .
. - D'après la question 1, il reste à démontrer que .
.
Exercice 2-4
modifierSoit . En utilisant parfois les résultats de l'exercice précédent, démontrer que :
- la suite des noyaux des itérés de est croissante et celle des images est décroissante : ;
- s'il existe au moins un tel que alors la suite des noyaux est strictement croissante jusqu'à un certain rang , puis constante à partir de ce rang ;
- s'il existe au moins un tel que alors la suite des images est strictement décroissante jusqu'à un certain rang , puis constante à partir de ce rang ;
- si les deux suites stationnent alors et ;
- si est de dimension finie alors les deux suites stationnent et l'entier est au plus égal à ;
- si est de dimension infinie alors les deux sous-espaces et ne sont plus nécessairement supplémentaires.
- Appliquer la question 1 de l'exercice précédent à et .
- Soit le plus petit des entiers tels que . Pour tout , en prenant les images réciproques par des deux membres de l'égalité , on obtient : .
- Soit le plus petit des entiers tels que . Pour tout , en prenant les images directes par des deux membres de l'égalité , on obtient : .
- et donc d'après les questions 2 et 3 de l'exercice précédent :et ,autrement dit : .
- Si , on déduit de que , c'est-à-dire , donc .
- Si , on déduit de que , c'est-à-dire , donc .
- Dans les deux cas, on peut donc conclure : .
- Si est de dimension finie , on ne peut pas avoir , car . Donc la suite des noyaux stationne à partir d'un rang . On démontre de même que la suite des images stationne à partir d'un rang .
- Considérons et la dérivation. Alors, (et seule la suite des images stationne). Ou encore : la multiplication par . Alors, (et seule la suite des noyaux stationne).
Exercice 2-5
modifierLes applications suivantes sont-elles linéaires ?
Pour celles qui le sont, déterminer le noyau et l'image et en déduire si l'application est injective, surjective, bijective.
Toutes sont linéaires sauf (car ).
Si , , et n'est ni injective, ni surjective.
Si , est bijective.
est bijective.
est surjective mais pas injective : son noyau est la droite des polynômes constants.
est surjective mais pas injective : son noyau est la droite engendrée par .
n'est ni injective, ni surjective : son noyau est la droite engendrée par (on le trouve en résolvant une équation différentielle linéaire du premier ordre très simple) et son image est l'hyperplan des polynômes tels que (en effet, si alors s'annule en 2 et réciproquement, si alors, soit un polynôme tel que et soit , on a donc ).
n'est ni injective, ni surjective (sauf si ) : donc est la droite engendrée par et .
Exercice 2-6
modifierSoit
- .
On note et les endomorphismes de de matrices respectives et dans la base canonique.
- Montrer que et calculer une base de .
- Montrer que est engendré par le vecteur .
- Montrer que .
- avec , et . Comme et ne sont pas colinéaires, ils forment donc une base de , si bien que .
- .
- avec et , et .
Exercice 2-7
modifierSoit l'application
- .
- Montrer que est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique.
- Calculer son noyau et en déduire son rang.
- Est-elle injective ? surjective ?
- avec donc est linéaire, de matrice dans la base canonique.
- donc .
- n'est donc ni injective, ni surjective.
Exercice 2-8
modifierDonner une base du noyau de chacune des applications linéaires suivantes.
- , , .
- , , .
- , , , .
- .
- .
- .
- Si , est le plan de base .
- Si , est la droite de base .
Donner une base de l'image de chacune des applications linéaires suivantes.
- , , .
- , , .
- , , .
- .
- .
- Une famille génératrice de est , ou (en remplaçant la deuxième colonne par ) , ou (en remplaçant la première colonne par ) .
- Si , est le plan de base .
- Si , a pour base donc est égal à tout entier.
Exercice 2-9
modifierSoient et .
- Calculer le déterminant de .
- Déterminer les valeurs du réel pour lesquelles la matrice est inversible.
- On considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est , et l'on pose .
- Pour quelles valeurs de l'application est-elle bijective ?
- Déterminer l'image et le noyau de . Déterminer .
- Montrer que .
- .
- est donc inversible pour tout réel différent de , et .
- est donc bijective pour tout réel différent de , et .
- a pour base . C'est donc le plan d'équation .
Il contient la droite donc l'intersection est . est la droite - a pour base . C'est donc le plan d'équation .
et donc et sont supplémentaires dans .
Voir aussi Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre#Exercice 2-1.
Exercice 2-10
modifierSoit une matrice non scalaire.
- Montrer que l'application est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique
- .
- Montrer que . Sans calcul, donner une autre matrice de , non proportionnelle à .
- Chercher , et montrer que si alors .
- Que vaut ?
-
donc est linéaire et sa matrice dans est . - et .
- (On pourrait aussi exploiter la question 2 et/ou le théorème du rang, pour répondre plus facilement à la 3.)
- , or donc le plan d'équations
- si : ,
- si : ,
- si : .
- (car , or , donc
- si : ,
- si : ,
- si : .
Dans les trois cas, on trouve que est le plan d'équations .
- a pour équations
- si : ,
- si : ,
- si : .
Dans les trois cas, on en déduit que les plans et sont d'intersection nulle, donc supplémentaires dans .
- , or donc le plan d'équations
- (on peut aussi utiliser la première équation de ).
Exercice 2-11
modifierOn considère l'application linéaire définie par , pour tout triplet .
- Écrire la matrice de dans la base canonique de .
- Calculer le noyau de . Donner une base de ce s.e.v.
- Calculer l'image de . Donner une base de ce s.e.v.
- L'application est-elle injective ? surjective ?
- .
- En résolvant le système homogène associé, on trouve .
- D'après la question précédente, les colonnes de vérifient : . Donc et ces deux vecteurs sont non colinéaires donc forment une base de (un autre argument pour conclure est d'invoquer le théorème du rang).
- Non, non.