Application linéaire/Exercices/Noyau et image

Noyau et image
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Exercices no2
Leçon : Application linéaire
Chapitre du cours : Définitions

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Application directe
Exo suiv. :Projecteurs, symétries
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Application linéaire/Exercices/Noyau et image
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Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Exercice 2-1Modifier

Soient   et  .

Vérifier que   si et seulement si  .

Exercice 2-2Modifier

Soient   tels que  ,   et  .

Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.

Exercice 2-3Modifier

Soient  .

  1. Vérifier que   et  .
  2. Montrer que  .
  3. Montrer que  .

Exercice 2-4Modifier

Soit  . En utilisant parfois les résultats de l'exercice précédent, démontrer que :

  1. la suite des noyaux des itérés de   est croissante et celle des images est décroissante :   ;
  2. s'il existe au moins un   tel que   alors la suite des noyaux est strictement croissante jusqu'à un certain rang  , puis constante à partir de ce rang ;
  3. s'il existe au moins un   tel que   alors la suite des images est strictement décroissante jusqu'à un certain rang  , puis constante à partir de ce rang ;
  4. si les deux suites stationnent alors   et   ;
  5. si   est de dimension finie alors les deux suites stationnent et l'entier   est au plus égal à   ;
  6. si   est de dimension infinie alors les deux sous-espaces   et   ne sont plus nécessairement supplémentaires.

Exercice 2-5Modifier

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

 

Pour celles qui le sont, déterminer le noyau et l'image et en déduire si l'application est injective, surjective, bijective.

Exercice 2-6Modifier

Soit

 .

On note   et   les endomorphismes de   de matrices respectives   et   dans la base canonique.

  1. Montrer que   et calculer une base   de  .
  2. Montrer que   est engendré par le vecteur  .
  3. Montrer que  .

Exercice 2-7Modifier

Soit l'application

 .
  1. Montrer que   est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique.
  2. Calculer son noyau et en déduire son rang.
  3. Est-elle injective ? surjective ?

Exercice 2-8Modifier

Donner une base du noyau de chacune des applications linéaires   suivantes.

  1.  ,  ,  .
  2.  ,  ,  .
  3.  ,  ,  ,  .

Donner une base de l'image de chacune des applications linéaires   suivantes.

  1.  ,  ,  .
  2.  ,  ,  .
  3.  ,  ,  .

Exercice 2-9Modifier

Soient   et  .

  1. Calculer le déterminant de  .
  2. Déterminer les valeurs du réel   pour lesquelles la matrice   est inversible.
    On considère l'endomorphisme   de   dont la matrice dans la base canonique est  , et l'on pose  .
  3. Pour quelles valeurs de   l'application   est-elle bijective ?
  4. Déterminer l'image et le noyau de  . Déterminer  .
  5. Montrer que  .

Exercice 2-10Modifier

Soit  .

  1. Montrer que l'application   est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique
     .
  2. Déterminer la dimension de  .
  3. Montrer que  . Sans calcul, donner une autre matrice de  , non proportionnelle à  .
  4. Montrer que ces deux matrices engendrent  .

Exercice 2-11Modifier

On considère l'application linéaire   définie par  , pour tout triplet  .

  1. Écrire la matrice   de   dans la base canonique   de  .
  2. Calculer le noyau de  . Donner une base de ce s.e.v.
  3. Calculer l'image de  . Donner une base de ce s.e.v.
  4. L'application   est-elle injective ? surjective ?