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{{Wikipédia|TopologieDual faibletopologique}}
{{Clr}}
 
==Exercice 1-1==
Soient <math>X</math> un espace topologique, <math>E=\mathcal C_b(X,\R)</math> l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la [[Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions#Convergence uniforme|norme de la convergence uniforme]], <math>(x_n)</math> une suite de points de <math>X</math> et <math>\sum_{n\in\N}a_n</math> une série absolument convergente de nombres réels. Pour tout <math>f\in E</math>, on pose
:<math>T(f)=\sum_{n\in\N}a_nf(x_n)</math>.
#Montrer que <math>T</math> est une forme [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Cas particulier des applications linéaires|linéaire continue sur <math>E</math>, de norme <math>\le\sum_{n\in\N}|a_n|</math>]].
#Montrer que <math>|\!|\!|T|\!|\!|=\sum_{n\in\N}|a_n|</math>.
{{Solution|contenu=
}}
 
==Exercice 1-2==
{{Wikipédia|Topologie faible}}
{{Wikipédia|Espace réflexif}}
On rappelle que <math>\ell^p:=\ell^p(\N,\C)</math>, <math>1<p<\infty</math> désigne l'espace des suites <math>x=(x_n)</math> de nombres complexes telles que
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