Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique

Dual topologique
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Exercices no1
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

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Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique
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Wikipédia possède un article à propos de « Dual topologique ».

Exercice 1-1Modifier

Soient   un espace topologique,   l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la norme de la convergence uniforme,   une suite de points de   et   une série absolument convergente de nombres réels distincts. Pour tout  , on pose

 .
  1. Montrer que   est une forme linéaire continue sur  , de norme  .
  2. Montrer que  .

Exercice 1-2Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Topologie faible ».
Wikipédia possède un article à propos de « Espace réflexif ».

On rappelle que  ,   désigne l'espace des suites   de nombres complexes telles que

 .

Toute forme linéaire continue   peut s'écrire

 

  avec  .

  1. Montrer que dans l'espace  , le sous-espace des suites de support fini est dense.
  2. Montrer qu'une suite   d'éléments   de   converge faiblement vers   si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :
    1. la suite   est bornée ;
    2. pour tout entier  , la suite   converge vers   (dans  ).
  3. En déduire que toute suite bornée de   admet une sous-suite faiblement convergente.

Exercice 1-3Modifier

Soient H un espace de Hilbert et C un convexe de H. Montrer que C est fermé si et seulement s'il est faiblement séquentiellement fermé, c.-à-d. si pour toute suite   dans C qui converge faiblement (dans H) vers  , la limite   appartient à C.

Exercice 1-4Modifier

Soient E un espace de Banach et   une suite de E qui converge faiblement vers  . Soient  .

  1. Si   (fortement), montrer que  .
  2. Cette conclusion subsiste-t-elle si l'on suppose seulement que   faiblement ?

Exercice 1-5Modifier

Soit E l'espace de Banach des fonctions continues sur [0, 1]. On rappelle que par le théorème de Riesz-Markov, le dual topologique de E s'identifie à l'espace des mesures boréliennes finies sur [0, 1].

Soit   la suite des fonctions définies par

 
  1. Montrer que la suite   est décroissante et converge vers la fonction   définie par   si   et  .
  2. Montrer que pour tout  ,   converge dans  .
  3. En considérant les mesures de Dirac, montrer que   n'est pas faiblement convergente dans E.

Exercice 1-6Modifier

Soit H un espace de Hilbert et C une partie de H, convexe, non vide, fermée et bornée. Soit   une application telle que pour tout  ,  .

  1. Soit  . Pour tout  , on définit  , pour  . Montrer que   est strictement contractante, et en déduire qu'il existe un unique point   tel que  .
  2. Montrer qu'il existe une suite extraite   de   qui converge faiblement vers un certain  .
  3. On pose   (pour tout  ) et  . Montrer que pour tout  ,  , et en déduire que  .
  4. En déduire que  .
  5. En déduire que la suite   converge fortement vers  , que  , et que  .