« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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→Exercice 2-2 : +1 question(+sol) |
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Ligne 21 :
#pour <math>D=\{(x,y,z)\in(\R_+)^3\mid x+y+z\le1\}</math> :
##<math>\iiint_D\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>,
##<math>\iiint_D(x+y+z)^2\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>,
##<math>\iiint_D\frac{\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}{(1+x+y+z)^3}</math>,
##<math>\iiint_Dx\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> ;
#<math>\iiint_D\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> où <math>D=\{(x,y,z)\in(\R_+)^3\mid\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z\le1\}</math> ;
#pour <math>D=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2\le1\}</math> :
Ligne 33 ⟶ 34 :
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##<math>\int_0^{1-x}\left(1-x-y\right)\,\mathrm dy=(1-x)^2-\frac{(1-x)^2}2=\frac{(1-x)^2}2</math> et <math>\int_0^1\frac{(1-x)^2}2\,\mathrm dx=\int_0^1\frac{t^2}2\,\mathrm dt=\frac16</math>.
##<math>\int_0^{1-x-y}(x+y+z)^2\,\mathrm dz=\frac{1-(x+y)^3}3</math>, <math>\int_0^{1-x}\frac{1-(x+y)^3}3\,\mathrm dy=\frac{1-x}3-\frac{1-x^4}{12}=\frac{3-4x+x^4}{12}</math> et <math>\int_0^1\frac{3-4x+x^4}{12}\,\mathrm dx=\frac1{10}</math>.
##<math>\int_0^{1-x-y}\frac{\mathrm dz}{(1+x+y+z)^3}=-\frac12\left[\frac1{(1+x+y+z)^2}\right]_0^{1-x-y}=-\frac12\left(\frac1{2^2}-\frac1{(1+x+y)^2}\right)</math> ;<br><math>-\frac12\int_0^{1-x}\left(\frac1{2^2}-\frac1{(1+x+y)^2}\right)\,\mathrm dy=-\frac12\left[\frac y4+\frac1{1+x+y}\right]_0^{1-x}=-\frac12\left(\frac{1-x}4+\frac12-\frac1{1+x}\right)=\frac{x-3}8+\frac1{2(1+x)}</math> ;<br><math>\int_0^1\left(\frac{x-3}8+\frac1{2(1+x)}\right)\,\mathrm dx=\left[\frac{x^2-6x}{16}+\frac{\ln(1+x)}2\right]_0^1=-\frac5{16}+\frac{\ln2}2</math>.
##<math>\int_0^{1-y-z}x\,\mathrm dx=\frac{(y+z-1)^2}2</math>, <math>\frac12\int_0^{1-z}(y+z-1)^2\,\mathrm dy=\frac12\int_{z-1}^0u^2\,\mathrm du=\frac{(1-z)^3}6</math>, <math>\frac16\int_0^1(1-z)^3\,\mathrm dz=\frac1{24}</math>.
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