« Espaces de Banach/Exercices/Algèbres de Banach » : différence entre les versions
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→Exercice 2-1 : solution en cours |
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Ligne 24 :
##:(appliquer la question 3.2 à l'injection canonique de <math>E</math> dans <math>\mathcal C^k</math>).
{{Solution|contenu=
#Pour tout <math>x\in E</math>, <math>T(T(x)e-x)=0</math> donc <math>T(x)e-x</math> n'est pas inversible donc <math>|T(x)|\le\|x\|</math>.
#Soit (d'après le rappel) un morphisme d'algèbres <math>T:E\to\C</math> tel que <math>T(\lambda e-x)=0</math>. Alors, <math>T(x)=\lambda\ne0</math>.
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##<math>T(f(x_n))\to T(y)</math> et <math>T\circ f(x_n)\to T\circ f(0)=0</math>, donc <math>T(y)=0</math>.
##Si l'algèbre <math>F</math> vérifie l'hypothèse de la question 2, on en déduit que <math>y=0</math>. Donc si <math>x_n\to0</math> et si <math>(f(x_n))</math> converge alors elle converge vers <math>0</math>. D'après le {{w|théorème du graphe fermé}}, cela suffit à prouver que <math>f</math> est continu.
#Sur une algèbre <math>E</math> vérifiant l'hypothèse de la question 2, soient <math>N_1</math> et <math>N_2</math> deux normes d'algèbre de Banach. D'après ce qui précède, <math>\mathrm{id}_E:(E,N_1)\to(E,N_2)</math> et <math>\mathrm{id}_E:(E,N_2)\to(E,N_1)</math> sont continues, ce qui revient à dire que <math>N_1</math> et <math>N_2</math> sont équivalentes.
#
##Soit <math>f\in\mathcal C^k</math> non nulle. Soit <math>t\in[0,1]</math> tel que <math>\lambda:=f(t)\ne0</math>. Alors, <math>\lambda e-f</math> n'est pas inversible.
##{{en cours}}
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