Espaces de Banach/Exercices/Algèbres de Banach

Algèbres de Banach
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Exercices no2
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Dual topologique
Exo suiv. :Applications linéaires continues
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Exercice 2-1Modifier

Toutes les algèbres considérées dans cet exercice seront supposées sur  , commutatives, et possédant un élément unité  .

  1. Si   est une algèbre de Banach, montrer que tout morphisme d'algèbres   est continu, de norme   (remarquer que   n'est pas inversible)
  2. Rappelons que d'après le théorème de Krull, tout élément non inversible d'une algèbre   est contenu dans un idéal maximal de   (donc dans le noyau d'un morphisme d'algèbres  ).
    Soit   une algèbre de Banach telle que pour tout  ,  , il existe   tel que   ne soit pas inversible. Montrer que pour tout  ,  , il existe un morphisme d'algèbres   tel que  .
  3. Soient   et   des algèbres de Banach et   un morphisme d'algèbres.
    1. Soit   une suite de   convergeant vers   telle que la suite   converge vers  . Montrer que pour tout morphisme d'algèbres  ,   (utiliser la question 1 pour   et  ).
    2. Si l'algèbre   vérifie l'hypothèse de la question 2, en déduire que   est continu.
  4. Déduire de ce qui précède que sur une algèbre vérifiant l'hypothèse de la question 2, deux normes d'algèbre de Banach sont nécessairement équivalentes.
  5. Soit   ( ) l'algèbre des fonctions   de classe  . On sait que c'est une algèbre de Banach pour la norme
     .
    1. Montrer que cette algèbre vérifie l'hypothèse de la question 2.
    2. On considère une sous-algèbre   de l'algèbre   des fonctions   de classe   et l'on suppose que sur  , il existe une norme d'algèbre de Banach. Montrer qu'alors, il existe une suite   de réels telle que
       
      (appliquer la question 3.2 à l'injection canonique de   dans  ).