« Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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{{Wikipédia|Opérateur compact}}
Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux espaces de Banach. On dit qu'un opérateur linéaire <math>T\in\mathcal L(E,F)</math> est compact si <math>T\left(B_E(0,1)\right)</math> est [[w:Partie relativement compacte|relativement compact]] dans <math>F</math> (c'est-à-dire d'adhérence [[Topologie générale/Compacité|compacte]]). On désigne par <math>\mathcal K(E,F)\subset\mathcal L(E,F)</math> le sous-espace vectoriel des opérateurs compacts de <math>E</math> dans <math>F</math>.
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#Soit <math>G</math> un espace de Banach. Si <math>T\in\mathcal
#Soit <math>T\in\mathcal K(E,E)</math>. Montrer que le sous-espace <math>\ker(\mathrm{id}_E-T)</math> est de dimension finie (montrer que la boule unité fermée de ce sous-espace est compacte
{{Solution|contenu=
#Soit <math>\varepsilon>0</math>. Il existe <math>n\in\N</math> tel que <math>|\!|\!|T-T_n|\!|\!|<\varepsilon</math>. Comme <math>T\left(B_E(0,1)\right)</math> est relativement compact, il est recouvert par une famille finie de boules de rayon <math>\varepsilon</math>. L'ensemble <math>T\left(B_E(0,1)\right)</math> est alors recouvert par la famille des boules de mêmes centres et de rayon <math>2\varepsilon</math>.
#<math>S\circ T\left(B_E(0,1)\right)\subset|\!|\!|T|\!|\!|S(B_F(0,1))</math>.
#<math>\ker(\mathrm{id}_E-T)</math> est un fermé de <math>E</math> donc sa boule unité fermée aussi. Or cette boule est incluse dans <math>T\left(B_E(0,1)\right)</math>. Elle est donc compacte, et l'on conclut par le [[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Compacité et dimension finie|théorème de Riesz]].
}}
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