Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues

Applications linéaires continues
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Exercices no3
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Algèbres de Banach
Exo suiv. :Topologie
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Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues
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Exercice 3-1Modifier

Soient   et   deux espaces de Banach et  . On suppose que   est un isomorphisme et  . Montrer qu'il existe   tel que pour tout scalaire   de module  ,   soit un isomorphisme. (Utiliser le début de Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité#Exercice 2.)

Exercice 3-2Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Opérateur compact ».

Soient   et   deux espaces de Banach. On dit qu'un opérateur linéaire   est compact si   est relativement compact dans   (c'est-à-dire d'adhérence compacte). On désigne par   le sous-espace vectoriel des opérateurs compacts de   dans  .

  1. Soit   une suite d'éléments de  , convergeant vers  . Montrer que   est précompact. (On en déduit qu'il est relativement compact — puisque   est complet — et par conséquent   est fermé dans  .)
  2. Soit   un espace de Banach. Si   et  , montrer que  .
  3. Soit  . Montrer que le sous-espace   est de dimension finie (montrer que la boule unité fermée de ce sous-espace est compacte).

Exercice 3-3Modifier

On considère l'espace de Banach   muni de la norme  .

Soit   une fonction continue sur  , bornée par  .

On définit une application linéaire  par  .

Pour tout  , on note   l'application itérée   fois de  , c.-à-d.  .

  1. Montrer que pour tout  ,  , pour tout  .
  2. Soient   et  . Montrer que la série   est convergente dans  .
  3. En déduire que l'équation de Volterra,  , possède une unique solution   dans  .

Exercice 3-4Modifier

Soit   une suite de nombres complexes et soit   l'application linéaire de   dans lui-même ( ) définie par

 .
  1. Montrer que   est continue si et seulement si   est bornée.
  2. On suppose que   tend vers 0. Montrer que   est un opérateur compact (voir supra). Indication : on pourra introduire la suite des opérateurs   définis par   si   et   sinon.
  3. Réciproquement, on suppose que   ne tend pas vers 0. En raisonnant par l'absurde, montrer que   n'est pas compact.

Exercice 3-5Modifier

Soit   muni de la norme uniforme, et   une application continue. Soit   l'application linéaire qui à   associe   définie par

 .
  1. Montrer que   est continue.
  2. Montrer que   peut être approximée uniformément par une suite de polynômes à deux variables, que l'on notera  .
  3. On définit   l'application qui à   associe   définie par  . Montrer que   est un opérateur de rang fini pour tout  .
  4. Montrer que  , ce qui prouve que   est un opérateur compact (voir supra).