« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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#*Si <math>a=0</math>, <math>\operatorname{im} f</math> est le plan de base <math>\left(\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \\0 \\-2\end{pmatrix}\right)</math>.
#*Si <math>a\ne0</math>, <math>\operatorname{im} f</math> a pour base <math>\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \\0 \\-2\end{pmatrix}\right)</math> donc est égal à <math>K^3</math> tout entier.
}}
==Exercice 2-9==
Soient <math>m\in\R</math> et <math>M_m=\begin{pmatrix}1&-m&m^2\\m&-m^2&m\\m&1&-m^2\end{pmatrix}</math>.
#Calculer le [[Matrice/Déterminant|déterminant]] de <math>M_m</math>.
#Déterminer les valeurs du réel <math>m</math> pour lesquelles la matrice <math>M_m</math> est inversible.
#:On considère l'endomorphisme <math>f_m</math> de <math>\R^3</math> dont la matrice dans la base canonique est <math>M_m</math>, et l'on pose <math>F_m=\operatorname{Vect}\left((2m,2m,1-m)\right)</math>.
#Pour quelles valeurs de <math>m</math> l'application <math>f_m</math> est-elle bijective ?
#Déterminer l'image et le noyau de <math>f_1</math>. Déterminer <math>\operatorname{im}(f_1)\cap F_1</math>.
#Montrer que <math>\operatorname{im}(f_{-1})\oplus F_{-1}=\R^3</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\det(M_m)=m(m^4-1)</math>.
#<math>M_m</math> est donc inversible pour tout réel <math>m</math> différent de <math>0</math>, <math>1</math> et <math>-1</math>.
#<math>f_m</math> est donc bijective pour tout réel <math>m</math> différent de <math>0</math>, <math>1</math> et <math>-1</math>.
#<math>\operatorname{im}(f_1)</math> a pour base <math>\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\right)</math>. C'est donc le plan d'équation <math>x=y</math>. Il contient la droite <math>F_1</math> donc l'intersection est <math>F_1</math>. <math>\ker f_1</math> est la droite
Voir aussi
{{en cours}}
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