« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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#<math>\operatorname{im}(f_{-1})</math> a pour base <math>\left(\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right)</math>. C'est donc le plan d'équation <math>y=-x</math>.<br><math>\operatorname{im}(f_{-1})\cap F_{-1}=\{\vec0\}</math> et <math>\dim\operatorname{im}(f_{-1})+\dim F_{-1}=2+1=\dim\R^3</math> donc <math>\operatorname{im}(f_{-1})</math> et <math>F_{-1}</math> sont [[Espace vectoriel/Définitions#Sous-espaces vectoriels supplémentaires|supplémentaires]] dans <math>\R^3</math>.
Voir aussi [[Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre#Exercice 2-1]].
}}
==Exercice 2-10==
Soit <math>A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}</math>.
#Montrer que l'application <math>\varphi:\mathrm M_2(\R)\to\mathrm M_2(\R),\;M\mapsto AM-MA</math> est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique
#:<math>\left(e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},e_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},e_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},e_4=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right)</math>.
#Déterminer la dimension de <math>\operatorname{im}\varphi</math>.
#Montrer que <math>A\in\ker\varphi</math>. Sans calcul, donner une autre matrice de <math>\ker\varphi</math>, non proportionnelle à <math>A</math>.
#Montrer que ces deux matrices engendrent <math>\ker\varphi</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\varphi\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+2c&b+2d\\c&d\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a&2a+b\\c&2c+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2c&2d-2a\\0&-2c\end{pmatrix}</math> donc <math>\varphi</math> est linéaire<br>et sa matrice dans la base canonique est <math>\begin{pmatrix}0&0&2&0\\-2&0&0&2\\0&0&0&0\\0&0&-2&0\end{pmatrix}</math>.
#<math>\operatorname{im}\varphi=\operatorname{Vect}(e_2,e_1-e_4)</math> est de dimension 2.
#<math>\varphi(A)=A^2-A^2=0</math> et <math>\varphi(\mathrm I_2)=A-A=0</math>.
#<math>\ker\varphi</math> est de dimension <math>\dim\mathrm M_2(\R)-\dim\operatorname{im}\varphi=2</math>. Comme <math>(A,\mathrm I_2)</math> est libre, c'est donc une base de <math>\ker\varphi</math>.
}}
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