« Fonction logarithme/Exercices/Primitive d'une fraction rationnelle » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m résolution complète |
m Suppression des espaces inutiles |
||
Ligne 11 :
Le but de cet exercice est de calculer une primitive de :
<center><math>f(x)
Ligne 19 ⟶ 18 :
a. Factoriser <math>-x^2 + 6x +16 =\ldots</math>
{{boîte déroulante|titre
;Méthode générale :
On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :
Ligne 33 ⟶ 31 :
Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme :
:<math>-x^2
;Méthode
Une racine évidente de ce polynôme est ''x<sub>1</sub> = -2''. Pourtant, il ne s'agit pas d'une identité remarquable. Par conséquent, il admet deux racines réelles.
On sait que la somme des racines égale ''-b/a = 6'' et on trouve la seconde racine ''y''. On résout ainsi directement le problème :
:<math>-x^2
b. Déterminer a et b pour que :
<center><math>f(x)
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu=▼
On a :
Ligne 54 ⟶ 52 :
Et on cherche ''a'' et ''b'' tels que :
:<math>f(x)
Mettons ces fractions au même dénominateur :
<math>\begin{align}
\frac a{-x+8}+\frac b{x+2}&=\frac{a(x+2)}{(-x+8) \times (x+2)} + \frac{b(-x+8)}{(-x+8) \times (x+2)}\\
&=\frac{ax+2a-bx+8b}{(-x+8) \times (x+2)}\\
&=\frac{(a-b)x+2a+ 8b}{(-x+8) \times (x+2)}\\
&=\frac{(a-b)x+2a+8b}{-x^2+6x+16}
\end{align}</math>
Les nombres ''a'' et ''b'' sont ainsi solution lorsque :
:<math>\begin{cases} a-b
La première relation impose ''a = b''. En remplaçant dans la seconde :
:<math>2a
On trouve : <math>a
Ligne 76 ⟶ 78 :
Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédement :
:<math>f(x)
En effet, on sait primitiver les fonctions de la forme ''u'/u'' (ce sont des logarithmes ln ''u''). Dans notre cas, si on pose :
:<math>u_1
:<math>u_2
En dérivant :
:<math>u'_1
:<math>u'_2
Par conséquent :
:<math>\frac{u'_1}{u_1}
:<math>\frac{u'_2}{u_2}
Et on peut réécrire ''ƒ'' sous la forme :
:<math>f
On peut alors facilement trouver que les primitives de ''ƒ'' sont les fonctions :
:<math>F
où ''K'' est une constante.
|