« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions
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#Si Fourier était bijective, la bijection réciproque serait continue (théorème de l'isomorphisme de Banach) donc il existerait une constante <math>C</math> telle que <math>\forall f\in{\rm L}^1~\|f\|_1\le C\|\widehat f\|_\infty</math>, ce qui est exclu par les questions 2 et 3.
#Si tel était le cas, il existerait (d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach) une constante <math>C</math> telle que, pour toute fonction <math>f\in{\rm L}^1(\R/2\pi\Z)</math>, <math>\Vert f\Vert_1\le C\sup_{n\in\Z}~\vert \widehat{f}(n)\vert</math>.<br>En appliquant une telle inégalité à la suite des noyaux de Dirichlet <math>D_k(x)=\sum_{j=-k}^k\mathrm e^{{\rm i}jx}</math>, on arrive à une contradiction. En effet, <math>\|D_k\|_1\to+\infty</math> (cf. [[../Théorème de Banach-Steinhaus#Exercice 5-3|ex. 5-3]]) alors que les <math>|\widehat{D_k}(n)|</math> sont bornés par <math>1</math> : <math>\widehat{D_k}(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_k(t){\rm e}^{-{\rm i}nt}\,\mathrm{d}t=1</math> si <math>|n|\le k</math> et 0 sinon.
}}
==Exercice 6-2==
Existe-t-il des exemples de bijections linéaires continues <math>T:X\to Y</math> entre deux e.v.n. avec <math>T^{-1}</math> non continue et :
#<math>X</math> et <math>Y</math> non complets ?
#<math>X</math> complet et <math>Y</math> non complet ?
#<math>Y</math> complet et <math>X</math> non complet ?
{{Solution|contenu=
Il s'agit de trouver, sur un même e.v. <math>E</math>, deux normes comparables (<math>N_Y\le CN_X</math>) mais non équivalentes.
#Prendre <math>E</math> de dimension dénombrable. Par exemple, pour <math>x</math> suite indexée par <math>\N^*</math> et à support fini, <math>N_Y(x)=\sum|x_n|</math> et <math>N_X(x)=\sum n|x_n|</math> (ou les mêmes normes que dans la question suivante).
#<math>\|~\|_p</math> est décroissante. Par ex. <math>\|~\|_{\infty}\le\|~\|_1</math>. <math>E=\ell^1</math>, <math>N_X=\|~\|_1</math>, <math>N_Y=\|~\|_{\infty}</math>.
#Choisir pour <math>Y</math> un Banach de dim infinie et [[Forme linéaire#Formes linéaires continues|sur lui, une forme linéaire <math>f</math> non continue]]. Prendre pour <math>X</math> le même espace mais muni de la norme <math>\|x\|+|f(x)|</math>. Elle n'est pas équivalente, sinon <math>f</math> serait continue.
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