Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé

Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé
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Exercices no6
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Théorème de Banach-Steinhaus
Exo suiv. :Espaces de Hilbert
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Exercice 6-1Modifier

Soient

  •   (l'indicatrice de  ),
  •   (sa transformée de Fourier) et
  •  .

Montrer que :

  1.   est intégrable ;
  2. la suite   est bornée dans   (muni de la norme sup) ;
  3. la suite   n'est pas bornée dans   (par changement de variable + lemme de Fatou) ;
  4. la transformation de Fourier, de   dans  , est injective ;
  5. elle n'est pas surjective ;
  6. de même, l'injection   n'est pas surjective.

Exercice 6-2Modifier

Existe-t-il des exemples de bijections linéaires continues   entre deux e.v.n. avec   non continue et :

  1.   et   non complets ?
  2.   complet et   non complet ?
  3.   complet et   non complet ?

Exercice 6-3Modifier

Dans un espace vectoriel normé E, deux sous-espaces vectoriels supplémentaires (algébriques) M et N sont dits supplémentaires topologiques s'ils sont fermés et si l'une des deux projections (de E sur M et N) est continue (donc les deux, puisque leur somme idE l'est). Montrer que :

  1. dans un espace de Banach, deux supplémentaires algébriques fermés sont toujours supplémentaires topologiques ;
  2. dans un espace de Hilbert, tout sous-espace fermé possède un supplémentaire topologique ;
  3. une surjection linéaire continue   entre deux espaces de Banach possède une section linéaire continue (  telle que  ) si et seulement si   possède un supplémentaire topologique ;
  4. dans tout e.v.n., les sous-espaces de dimension finie et les sous-espaces fermés de codimension finie possèdent des supplémentaires topologiques.

Exercice 6-4Modifier

Soient   et   deux applications entre espaces de Hilbert, telles que

 .

Montrer que   et   sont linéaires et continues.

Exercice 6-5Modifier

Soient   trois espaces de Banach,   un ensemble d'applications linéaires continues de   dans   « total » (c.-à-d. séparant les points de  ) et   une application linéaire de   dans  . Montrer que si   est continue, alors   est continue.

Exercice 6-6Modifier

Soit   un sous-espace vectoriel fermé de  , constitué de fonctions continues. Montrer que :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.   est de dimension finie, inférieure ou égale à  .

Exercice 6-7Modifier

Soit   une mesure positive (sur un espace mesurable) et   tels que  .

  1. Montrer que cette inclusion est continue (rappel : toute suite qui converge dans   possède une sous-suite qui converge  -p.p.).
  2. Si  , en déduire l'existence d'un   tel que pour toute partie mesurable   de mesure non nulle,  .
  3. Si au contraire   et si   est σ-finie, en déduire que   est finie.

Exercice 6-8Modifier

Soit   un endomorphisme de  . On suppose que   est continu de   dans  . Montrer que   est continu de   dans  .