« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions
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==Exercice 6-7==
Soit <math>\mu</math> une [[Théorie de la mesure/Mesures|mesure positive]] (sur un [[Théorie de la mesure/Tribus#Tribus|espace mesurable]]) et <math>1\le p,q\le\infty</math> tels que <math>{\rm L}^p(\mu)\subset{\rm L}^q(\mu)</math>.
#Montrer que cette inclusion est continue (rappel : [[w:Théorème de Riesz-Fischer#Complétude de l'espace Lp|toute suite qui converge dans <math>{\rm L}^p(\mu)</math> possède une sous-suite qui converge <math>\mu</math>-p.p.]]).
#Si <math>p<q</math>, en déduire l'existence d'un <math>\varepsilon>0</math> tel que pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure non nulle, <math>\mu(Y)\ge\varepsilon</math>.
#Si au contraire <math>q<p</math> et si <math>\mu</math> est {{w|Mesure sigma-finie|σ-finie}}, en déduire que <math>\mu</math> est {{w|Mesure finie|finie}}.
{{Solution|contenu=
#Si <math>f_n\to f</math> dans <math>\mathrm L^p(\mu)</math> et <math>f_n\to g</math> dans <math>\mathrm L^q(\mu)</math> alors, en appliquant deux fois le rappel, il existe une sous-suite de <math>(f_n)</math> qui tend <math>\mu</math>-p.p. à la fois vers <math>f</math> et vers <math>g</math>, donc <math>f=g</math> (<math>\mu</math>-p.p.). D'après le théorème du graphe fermé, ceci prouve la continuité de l'inclusion.
#Il existe donc une constante <math>C</math> telle que <math>\forall f\in\mathrm L^p(\mu)\quad\|f\|_q\le C\|f\|_p</math>. En particulier, pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure (finie et) non nulle, <math>\mu(Y)^{1/q}\le C\mu(Y)^{1/p}</math>, autrement dit (si <math>p<q</math>) : <math>\mu(Y)\ge\frac1C^\frac1{\frac1p-\frac1q}</math>.
#Si <math>q<p</math> et <math>\mu</math> σ-finie (exemple : <math>X=[0,1]</math> muni des tribu et mesure de Lebesgue), <math>X</math> est une union croissante de <math>X_n</math> avec, par un calcul analogue : <math>\mu(X_n)\le C^\frac1{\frac1q-\frac1p}</math>, donc <math>\mu(X)\le C^\frac1{\frac1q-\frac1p}<\infty</math>.
}}
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