« Espace préhilbertien réel/Exercices/Projection orthogonale » : différence entre les versions
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:<math>\alpha=2\langle e_0|f\rangle=2\pi,\qquad\beta=2\langle e_1|f\rangle=-4,\quad\|g\|^2=\frac{\alpha^2+\beta^2}2=2\pi^2+8</math> et
:<math>\inf_{(a,b)\in\R^2}\int_0^\pi(t-x\sin t-y\cos t)^2\,\mathrm dt=\|f\|^2-\|g\|^2=\frac{\pi^3}3-2\pi^2-8</math>.
}}
==Exercice 4-4==
Soit l'espace de Hilbert <math>H=\ell^2(\N,\R)</math>. On note <math>C=\{(x_n)_n\in H\mid\forall n\quad x_n\ge0\}</math>.
#Montrer que <math>C</math> est un convexe fermé.
#Déterminer la projection sur <math>C</math>.
#Même question avec <math>H=\ell^2(\N,\C)</math>.
{{Solution|contenu=
#Notons <math>p_n</math> la forme linéaire <math>x\mapsto x_n</math> (continue, de norme <math>1</math>). <math>C=\bigcap_{n\in\N}p_n^{-1}(\R^+)</math> est un convexe fermé car chaque <math>p_n^{-1}(\R^+)</math> l'est car <math>\R^+</math> l'est.
#Notons <math>\pi:\R\to\R^+</math> la projection sur <math>\R^+</math> (<math>\pi(t)=t</math> si <math>t\ge0</math> et <math>\pi(t)=0</math> si <math>t\le0</math>). Le projeté sur <math>C</math> d'un <math>x\in H</math> est la suite <math>(\pi(x_n))_n</math> (qui est bien dans <math>H</math> puisque <math>|\pi(t)|\le|t|</math>).
#Idem en remplaçant <math>\pi</math> par <math>\pi':=\pi\circ{\rm Re}:\C\to\R^+</math> (remarquer d'abord que <math>C</math> est encore fermé dans <math>\ell^2(\N,\C)</math>, comme fermé du fermé <math>\ell^2(\N,\R)</math>).
}}
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