Espace préhilbertien réel/Exercices/Projection orthogonale
Exercice 4-1
modifierDéterminer .
Notons muni du produit scalaire .
Considérons maintenant , , ; , et sont des éléments de . On pose .
muni de son produit scalaire est un espace préhilbertien, et est un sev de dimension finie de . Nous avons tous les éléments pour appliquer le théorème de la projection orthogonale : il existe un unique qui est le projeté orthogonal de ; il vérifie :
et
- .
est justement la quantité qu'on cherche puisque : .
Nous souhaitons donc trouver la valeur de . D'après le théorème de Pythagore, . Il suffit donc de trouver .
Il s'agit pour cela d'expliciter ; on peut le faire grâce à la propriété . Nous cherchons sous la forme puisque .
Calculons les coefficients de ce système :
- ;
- .
Ainsi :
On calcule :
Ainsi :
- .
Conclusion :
- .
Exercice 4-2
modifierDéterminer .
Considérons, comme dans l'exercice précédent, dans l'espace muni du produit scalaire , le plan avec et , mais cette fois, donc
- ;
- ;
- .
À ce changement près, la méthode est identique. Le projeté orthogonal de sur est donc avec
D'où :
et finalement :
- .
Exercice 4-3
modifierDéterminer .
Appliquons la même méthode que dans les deux exercices précédents à (donc ),
- , et . Les calculs sont plus simples :
- et donc
- et
- .
Exercice 4-4
modifierSoit l'espace de Hilbert . On note .
- Montrer que est un convexe fermé.
- Déterminer la projection sur .
- Même question avec .
- Notons la forme linéaire (continue, de norme ). est un convexe fermé car chaque l'est car l'est.
- Notons la projection sur ( si et si ). Le projeté sur d'un est la suite (qui est bien dans puisque ).
- Idem en remplaçant par (remarquer d'abord que est encore fermé dans , comme fermé du fermé ).
Exercice 4-5
modifierSoit un espace de Hilbert. Pour un convexe fermé non vide de , on note la projection sur .
- Soient deux convexes fermés non vides de , tels que . Montrer, en utilisant l'identité de la médiane (équivalente à celle du parallélogramme), que pour tout ,
- .
- Soit une suite croissante de convexes fermés non vides de . On note l'adhérence de .
- Montrer que est un convexe fermé non vide.
- Montrer que pour tout , .
- En déduire que pour tout , converge vers quand .
- Soit une suite décroissante de convexes fermés non vides de . On note l'intersection des , c'est-à-dire .
- On suppose que est non vide. Soit . Montrer que la suite converge vers une certaine limite vérifiant .
- Pour tout , on note . Montrer que la suite est de Cauchy, et en déduire que converge vers , quand .
- Montrer que si est vide, alors , pour tout (en particulier si l'un des est borné, alors n'est pas vide).
- Notons , , alors donc d'après l'identité de la médiane, , donc , c'est-à-dire .
-
- est un convexe fermé non vide, comme adhérence du convexe non vide (union croissante de convexes non vides).
- La suite des est décroissante donc tend vers son inf, or .
- Immédiat d'après les questions 1 (appliquée à et ) et 2.2.
-
- Si , la suite croissante des est majorée par donc tend vers un .
- La suite est de Cauchy d'après les questions 1 (appliquée à et ) et 3.1. Soit sa limite, alors (car pour tout , appartient au fermé pour ) et , donc et .
- Si , car dans toute boule fermée (faiblement compacte) de centre et de rayon , l'intersection décroissante des (faiblement fermés) est vide donc à partir d'un certain rang, et a fortiori, .