Espace préhilbertien réel/Exercices/Projection orthogonale

Projection orthogonale
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Exercices no4
Leçon : Espace préhilbertien réel
Chapitre du cours : Projecteurs orthogonaux

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Polynômes de Laguerre
Exo suiv. :Exercices divers
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Espace préhilbertien réel/Exercices/Projection orthogonale
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Exercice 4-1Modifier

Déterminer  .

Exercice 4-2Modifier

Déterminer  .

Exercice 4-3Modifier

Déterminer  .

Exercice 4-4Modifier

Soit l'espace de Hilbert  . On note  .

  1. Montrer que   est un convexe fermé.
  2. Déterminer la projection sur  .
  3. Même question avec  .

Exercice 4-5Modifier

Soit   un espace de Hilbert. Pour   un convexe fermé non vide de  , on note   la projection sur  .

  1. Soient   deux convexes fermés non vides de  , tels que  . Montrer, en utilisant l'identité de la médiane (équivalente à celle du parallélogramme), que pour tout  ,
 .
  1. Soit   une suite croissante de convexes fermés non vides de  . On note   l'adhérence de  .
    1. Montrer que   est un convexe fermé non vide.
    2. Montrer que pour tout  ,  .
    3. En déduire que pour tout  ,   converge vers   quand  .
  2. Soit   une suite décroissante de convexes fermés non vides de  . On note   l'intersection des  , c.-à-d.  .
    1. On suppose que   est non vide. Soit  . Montrer que la suite   converge vers une certaine limite   vérifiant  .
    2. Pour tout  , on note  . Montrer que la suite   est de Cauchy, et en déduire que   converge vers  , quand  .
    3. Montrer que si   est vide, alors  , pour tout   (en particulier si l'un des   est borné, alors   n'est pas vide).