« Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre » : différence entre les versions
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→Exercice 3-2 : Solution |
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Ligne 51 :
#Montrer que pour tout <math>\alpha\in \R_+</math>, <math>\sum_{n\geq0} \left( \int_{\R_+}\operatorname e^{-\alpha x} L_n(x)\operatorname e^{-x}\,\mathrm dx \right)^2=\frac1{2\alpha+1}</math>.
#En déduire que <math>f_\alpha:x\mapsto\operatorname e^{-\alpha x}</math> appartient à l'adhérence de <math>\operatorname{Vect}\left((L_n)_{n\in\N}\right)</math> dans <math>H</math>.
#Soit <math>f\in C_0(\R_+)</math> l'espace des fonctions nulles à l'infini. En appliquant le [[Suites et séries de fonctions/Approximation de fonctions|théorème de Stone-Weierstrass]] à la fonction <math>g:[0,1]\to\R</math> définie par <math>g(x)=f(-\ln x)</math> si <math>x\ne0</math> et <math>g(0)=0</math>, montrer que la suite <math>(f_n)_{n\in\N}</math> est
#Montrer que <math>(L_n)_{n\geq0}</math> est une [[Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Espaces hilbertiens#Bases de Hilbert|base hilbertienne]] de <math>H</math>.
{{Solution|contenu =
Ligne 72 :
#Ce qu'on vient de calculer est la norme au carré du projeté de <math>f_\alpha</math> sur cette adhérence. Il suffit donc de vérifier que ce nombre est égal à la norme au carré de <math>f_\alpha</math> :
#:<math>\int_0^{+\infty}f_\alpha^2(x){\rm e}^{-x}{\rm d}x=\int_0^{+\infty}{\rm e}^{-(2\alpha+1)x}{\rm d}x=\frac1{2\alpha+1}</math>.
#<math>x\mapsto-\ln x</math> est un homémomorphisme (décroissant) de <math>[0,
#L'application <math>f\mapsto g</math> est une bijection linéaire isométrique de <math>H</math> dans <math>{\rm L}^2([0,1],\lambda)</math>, qui envoie <math>(f_n)_{n\ge0}</math> sur <math>(x^n)_{n\ge0}</math>. Comme <math>(x^n)_{n\ge0}</math> est totale dans <math>(C([0,1]),\|~\|_{\infty})</math> et ''a fortiori'' dans <math>{\rm L}^2([0,1],\lambda)</math>, <math>(f_n)_{n\ge0}</math> est totale dans <math>H</math>, donc <math>(L_n)_{n\ge0}</math> aussi d'après la question 4.
}}
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