Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre
Exercice 3-1Modifier
On travaille dans muni du produit scalaire .
On définit, pour tout , le n-ième polynôme de Laguerre par :
- .
- Vérifier que est bien un produit scalaire sur E.
- Calculer L₀, L₁, L₂ et L₃.
- Montrer que est une famille orthonormale de
- Montrer que pour tout , Ln vérifie l'équation différentielle .
- Montrer que L vérifie l'équation .
Solution des questions 1 et 2
-
- Pour tout est intégrable sur , donc est bien défini.
- La linéarité de l'intégrale donne la bilinéarité de .
- La symétrie et la positivité sont triviales.
- Soit tel que . La fonction est continue, positive et d'intégrale sur nulle, donc elle est identiquement nulle, c'est-à-dire P = 0.
- On a montré que était bilinéaire, symétrique, définie positive. Donc est un produit scalaire sur E.
-
Absence de solution des questions 3 à 5
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice 3-2Modifier
On considère l'espace de Hilbert où
- ,
étant la mesure de Lebesgue sur .
On définit pour tout et ,
- .
- Montrer que est un polynôme de degré et donner son coefficient dominant.
-
- Calculer le produit scalaire pour tout .
- En déduire que est une famille orthonormale de .
- Montrer que pour tout , .
- En déduire que appartient à l'adhérence de dans .
- Soit l'espace des fonctions nulles à l'infini. En appliquant le théorème de Stone-Weierstrass à la fonction définie par si et , montrer que la suite est totale dans pour la norme .
- Montrer que est une base hilbertienne de .
Solution
- Si est un polynôme, avec , de même degré que et de coefficient dominant opposé. Donc est un polynôme de degré et de coefficient dominant .
-
- Pour ,
- D'après les deux questions précédentes, chaque est orthogonal aux précédents et .
- Pour ,
- Soit .
- (après intégrations par parties)
- (la dernière égalité résultant d'un calcul déjà fait dans 2.1). La somme des carrés vaut donc, avec
- .
- Ce qu'on vient de calculer est la norme au carré du projeté de sur cette adhérence. Il suffit donc de vérifier que ce nombre est égal à la norme au carré de :
- .
- est un homémomorphisme (décroissant) de sur donc si , est continue sur et nulle en 0. Elle est donc limite uniforme sur de combinaisons linéaires des pour , donc est limite uniforme sur des combinaisons, avec les mêmes coefficients, des pour .
- L'application est une bijection linéaire isométrique de dans , qui envoie sur . Comme est totale dans et a fortiori dans , est totale dans , donc aussi d'après la question 4.