Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre

Polynômes de Laguerre
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Exercices no3
Leçon : Espace préhilbertien réel
Chapitre du cours : Produit scalaire, Orthogonalité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Polynômes de Legendre
Exo suiv. :Projection orthogonale
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Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre
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Exercice 3-1Modifier

On travaille dans   muni du produit scalaire  .

On définit, pour tout  , le n-ième polynôme de Laguerre   par :

 .
  1. Vérifier que   est bien un produit scalaire sur E.
  2. Calculer L₀, L₁, L₂ et L₃.
  3. Montrer que   est une famille orthonormale de  
  4. Montrer que pour tout  , Ln vérifie l'équation différentielle  .
  5. Montrer que L vérifie l'équation  .

Exercice 3-2Modifier

On considère l'espace de Hilbert  

 ,

  étant la mesure de Lebesgue sur  .

On définit pour tout   et  ,

 .
  1. Montrer que   est un polynôme de degré   et donner son coefficient dominant.
    1. Calculer le produit scalaire   pour tout  .
    2. En déduire que   est une famille orthonormale de  .
  2. Montrer que pour tout  ,  .
  3. En déduire que   appartient à l'adhérence de   dans  .
  4. Soit   l'espace des fonctions nulles à l'infini. En appliquant le théorème de Stone-Weierstrass à la fonction   définie par   si   et  , montrer que la suite   est totale dans   pour la norme  .
  5. Montrer que   est une base hilbertienne de  .