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→‎Exercice 7-3 : solution, mais il va falloir un exo préliminaire
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==Exercice 7-3==
Notons <math>\Omega</math> l'ouvert <math>\left]0,+\infty\right[</math> (donc <math>\overline\Omega=\R_+</math>).
On rappelle que l'{{w|espace de Sobolev}} <math>H^1(\R_+)</math> est le complété de l'[[Espace préhilbertien réel|espace préhilbertien]] <math>\mathcal D(\R_+)</math> ([[w:Fonction C∞ à support compact|espace des fonctions C{{exp|∞}} à support compact]]) muni du produit scalaire <math>\langle u,v\rangle=\langle u,v\rangle_2 +\langle u',v'\rangle_2</math>.
#MontrerOn qu'ilrappelle existeque unson opérateur{{w|espace <math>K</math>de surSobolev}} <math>H^1(\R_+)</math> telest quele complété de l'[[Espace préhilbertien pourréel|espace touspréhilbertien]] <math>u,v\inmathcal H^1D(\R_+)</math>, ([[w:Fonction C∞ à support compact|espace des fonctions C{{exp|∞}} à support compact]]) muni du produit scalaire <math>\langle Kuu, v\rangle=\langle u(0),v(0)\rangle_2 +\langle u',v'\rangle_2</math>.
#Montrer qu'il existe un opérateur <math>K</math> sur <math>H^1</math> tel que pour tous <math>u,v\in H^1</math>, <math>\langle Ku, v\rangle=u(0)v(0)</math>.
#Montrer que <math>K</math> est autoadjoint et de rang 1.
#Soit <math>f\in\mathrm L^2(\R_+)</math>. On considère le problème suivant : trouver <math>u</math> tel que <math>\begin{cases}
-u''+u=f\\
u'(0)+\alpha u(0)=0.
\end{cases}</math><br>En intégrant contre une fonction test <math>v\in\mathcal D(\R_+)</math>, mettre le problème sous la forme variationnelle suivante :<br><math>\int_{\R_+} (u' v' + uv) -\alpha u(0)v(0)=\int_{\R_+} fv</math>.
#En utilisant l'{{w|alternative de Fredholm}}, montrer qu'il admet une unique solution <math>u</math> dans <math>H^1(\R_+)</math> si et seulement si <math>\alpha\ne1</math>.
{{Solution|contenu=}}
<!--#Il s'agit de montrer que la forme linéaire <math>u\mapsto u(0)</math> est continue sur <math>H^1</math>. Pour tout <math>u\in\mathcal D(\R_+)</math>, <math>\|u\|_\infty\le\|u\|_{H^1}</math>. En effet, <math>\forall x\in\R_+\quad u^2(x)=-\int_x^{+\infty}2uu'\le2\|u\|_2\|u'\|_2\le\|u\|_2^2+\|u'\|_2^2</math>.
-->
#L'application bilinéaire <math>\varphi:(u,v)\mapsto u(0)v(0)</math> est continue sur <math>H^1\times H^1</math> (de norme <math>\le1</math>) donc (d'après le th. de représentation de Riesz) de la forme <math>\varphi(u,v)=\langle Ku,v\rangle</math> pour un certain opérateur <math>K</math> sur <math>H^1</math> (de même norme que <math>\varphi</math>).
#<math>\varphi</math> est symétrique donc <math>K</math> est autoadjoint.<br><math>Ku=0\Leftrightarrow\forall v\in H^1~u(0)v(0)=0\Leftrightarrow u(0)=0</math> donc <math>K</math> a même noyau que la forme linéaire <math>u\mapsto u(0)</math>, donc <math>\ker K</math> est un hyperplan, c'est-à-dire que <math>K</math> est de rang 1.<br>Une façon plus directe et plus explicite de résoudre ces deux questions est de remarquer qu'en posant <math>u_0(x):={\rm e}^{-x}</math>, on a <math>u_0,u'_0\in H^1</math> et (d'après la formule d'intégration par parties)<br><math>\forall u\in H^1\quad u(0)=-u'_0(0)u(0)=\int_\Omega(uu''_0+u'_0Du)=\int_\Omega(uu_0+u'_0Du)=\langle u_0,u\rangle_{H^1}</math> donc<br><math>\forall u,v\in H^1\quad u(0)v(0)=\langle u_0,u\rangle_{H^1}\langle u_0,v\rangle_{H^1}=\langle Ku,v\rangle_{H^1}\text{ avec }Ku:=\langle u_0,u\rangle_{H^1}u_0</math>.<br>On trouve ainsi immédiatement (on le retrouvera grâce à la question 3 et ce sera utile à la question 4) que la valeur propre non nulle de <math>K</math> est <math>\|u_0\|_{H^1}^2=2\int_{\R^+}{\rm e}^{-2x}{\rm d}x=1</math> (c'est-à-dire que <math>K</math> est la projection orthogonale sur la droite engendrée par <math>u_0</math>).
#Si <math>u\in H^1</math> vérifie <math>-u''+u=f</math>, ce qui s'écrit plus rigoureusement <math>D^2u=u-f</math>, alors <math>Du\in H^1</math> — donc <math>u\in C^1(\overline\Omega)</math>, ce qui donne un sens à <math>u'(0)</math> — et (d'après la formule d'intégration par parties)<br><math>\forall v\in H^1\quad\int_\Omega fv=\int_\Omega uv-\int_\Omega(Du')v=\int_\Omega(uv+u'Dv)+u'(0)v(0)=\langle u,v\rangle_{H^1}+u'(0)v(0)</math>.<br>Par conséquent :
#*si <math>D^2u=u-f</math> et <math>u'(0)=-\alpha u(0)</math> alors
#*:<math>\forall v\in H^1\quad\int_\Omega fv=\langle u,v\rangle_{H^1}-\alpha u(0)v(0)\qquad(*)</math> ;
#*réciproquement, si <math>u\in H^1</math> vérifie <math>(*)</math> alors en particulier<br><math>\forall v\in C_c^\infty(\Omega)\quad\int_\Omega fv=\int_\Omega(uv+DuDv)=\int_\Omega(u-D^2u)v</math><br>autrement dit <math>D^2u=u-f</math>, ce qui permet de remplacer le membre de gauche <math>\int_\Omega fv</math> de l'hypothèse <math>(*)</math> par <math>\langle u,v\rangle_{H^1}+u'(0)v(0)</math>, et d'en déduire que <math>u'(0)=-\alpha u(0)</math>.
#:En appliquant cette équivalence à <math>f=0</math>, on retrouve la valeur propre non nulle <math>\lambda</math> de <math>K</math> et la droite propre associée. En effet, <math>u</math> est un vecteur de cette droite si et seulement si <math>u''=u</math> et <math>u(0)=-\lambda u'(0)</math>. En résolvant, on retrouve bien <math>u\in\R u_0</math> et <math>\lambda=1</math>.
#Notons <math>F\in H^1</math> le vecteur qui (par Riesz) représente la forme linéaire <math>v\mapsto \langle f,v\rangle_{{\rm L}^2}</math> (continue sur <math>H^1</math>). Alors, le problème équivaut à <math>u-\alpha Ku=F</math>.<br>Si, ''pour au moins un'' <math>f\in{\rm L}^2(\Omega)</math> (donc pour au moins un <math>F\in H^1</math>), ce problème a une ''unique'' solution <math>u\in H^1</math>, alors <math>\ker(I-\alpha K)=\{0\}</math>.<br>Puisque les valeurs propres de <math>K</math> sont 0 et 1, la condition <math>\ker(I-\alpha K)=\{0\}</math> équivaut à <math>\alpha\ne1</math>.<br>Inversement, si <math>\alpha\ne1</math> c'est-à-dire si <math>I-\alpha K</math> est injectif alors, d'après l'alternative de Fredholm (démontrée pour <math>K</math> compact dans tout e.v.n. réel ou complexe — non nécessairement complet — et même, pour <math>K</math> de rang fini, dans tout e.v. sur un corps arbitraire), <math>I-\alpha K</math> est même bijectif, c'est-à-dire que ''pour chaque'' <math>F\in H^1</math> — en particulier ceux venant d'un <math>f\in{\rm L}^2(\Omega)</math> — le problème a une unique solution <math>u\in H^1</math> (qu'il est ici facile d'expliciter : <math>u=F+\frac{\alpha}{1-\alpha}K(F)</math>).<br>On peut de plus remarquer que pour <math>\alpha=1</math>, l'ensemble des solutions est soit une droite affine de direction <math>\ker(I-K)=\R u_0</math> (lorsque <math>F\in{\rm im}(I-K)=u_0^\perp</math>, c'est-à-dire <math>\int_\Omega fu_0=0</math>), soit vide (lorsque <math>\int_\Omega fu_0\ne0</math>).
 
Voir aussi l'exercice 1 de [http://www.cmap.polytechnique.fr/~haddar/Cours/ENSTA/ma201-td06corr.pdf cet énoncé] et de [http://www.cmap.polytechnique.fr/~haddar/Cours/ENSTA/ma201-td06corr.pdf ce corrigé].
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