Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert

Espaces de Hilbert
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Exercices no7
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

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Wikipédia possède un article à propos de « Espace de Hilbert ».

Exercice 7-1Modifier

Soient   un espace de Hilbert et   un opérateur normal sur  , c.-à-d.  .

  1. Montrer que  .
  2. En déduire que   est inversible si et seulement s'il existe une constante   telle que :   pour tout  .

Exercice 7-2Modifier

Soient   un espace de Hilbert et   un opérateur positif, c.-à-d.[1] : pour tout  ,  .

  1. Montrer, pour tous  ,   et  , que  . En déduire que  .
  2. En considérant  , montrer que  .
  3. En utilisant le théorème de Lax-Milgram, montrer que   est bijectif pour tout  .
  1. Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur   qui, en plus de vérifier  , est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'exercice 7-1 suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur   est autoadjoint si et seulement si  . Mais sur  ,   vérifie   et n'est pas autoadjoint ni même normal.

Exercice 7-3Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Espace de Sobolev ».

Notons   l'ouvert   (donc  ). On définit son espace de Sobolev   comme étant l'espace de Hilbert

 

(où   est la dérivée de   au sens des distributions), muni du produit scalaire

 .
  1. Montrer que :
    •   ;
    •   (« formule d'intégration par parties »).
  2. Montrer que par ailleurs, le sous-espace   (espace des fonctions C à support compact) est dense dans  .

Exercice 7-4Modifier

On reprend les notations de l'exercice précédent, et les résultats de la question 1.

  1. Montrer qu'il existe un opérateur   sur   tel que pour tous  ,  .
  2. Montrer que   est autoadjoint et de rang 1.
  3. Soit  . On considère le problème suivant : trouver   tel que  
    En intégrant contre une fonction test  , mettre le problème sous la forme variationnelle suivante :
     .
  4. En utilisant l'alternative de Fredholm, montrer qu'il admet une unique solution   dans   si et seulement si  .

Exercice 7-5Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème ergodique de von Neumann ».

Soient   un espace de Hilbert et   un opérateur sur   de norme ≤ 1. Pour  , on note

 .
  1. Soit   tel que  . Montrer que  .
  2. Montrer que  .
  3. En déduire que  .
  4. Montrer que   pour tout  , puis pour tout  .
  5. Soit   la projection orthogonale sur  . Montrer que pour tout  ,  .
  6. Application. Soient   et  .
    Montrer que pour tout  ,   dans  , où   est la fonction constante égale à  .

Exercice 7-6Modifier

Soit   un espace de Hilbert. Montrer qu'une suite   converge dans   si et seulement si   existe.