« Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé » : différence entre les versions
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#Il existe donc une constante <math>C</math> telle que <math>\forall f\in\mathrm L^q(\mu)\quad\|f\|_p\le C\|f\|_q</math>. En particulier, pour toute partie mesurable <math>Y</math> de mesure (finie et) non nulle, <math>\mu(Y)^{1/p}\le C\mu(Y)^{1/q}</math>, autrement dit (si <math>q<p</math>) : <math>\mu(Y)\ge\frac1C^\frac1{\frac1q-\frac1p}</math>.
#Si <math>p<q</math> et <math>\mu</math> σ-finie (exemple : <math>X=[0,1]</math> muni des tribu et mesure de Lebesgue), <math>X</math> est une union croissante de <math>X_n</math> avec, par un calcul analogue : <math>\mu(X_n)\le C^\frac1{\frac1p-\frac1q}</math>, donc <math>\mu(X)\le C^\frac1{\frac1p-\frac1q}<\infty</math>.
}}
==Exercice 6-8==
<!--énoncé trouvé sur http://dumas.perso.math.cnrs.fr/MSMA721-2011-3.pdf-->
Soit <math>T</math> un endomorphisme de <math>E=\mathrm L^2([0,1])</math>. On suppose que <math>T</math> est continu de <math>(E,\|\cdot\|_2)</math> dans <math>(E,\|\cdot\|_1)</math>. Montrer que <math>T</math> est continu de <math>(E,\|\cdot\|_2)</math> dans <math>(E,\|\cdot\|_2)</math>.
{{Solution|contenu=
Puisque <math>(E,\|\cdot\|_2)</math> est de Banach, il suffit de montrer que le graphe de <math>T</math> est fermé dans son carré. On suppose donc que <math>\|f_n-f\|_2\to0</math> et <math>\|Tf_n-g\|_2\to0</math>, et il s'agit de prouver que <math>g=Tf</math>.
Puisque <math>\|Tf_n-g\|_2\to0</math>, il existe une sous-suite <math>(f_{n_k})_k</math> telle que <math>Tf_{n_k}\to g</math> presque partout (cf. [[w:Théorème de Riesz-Fischer|Théorème de Riesz-Fischer]]).
De même, puisque <math>\|Tf_{n_k}-Tf\|_1\to0</math>, il existe une sous-sous-suite <math>(f_{n_{k_i}})_i</math> telle que <math>Tf_{n_{k_i}}\to Tf</math> presque partout.
Par unicité de la limite, on a donc bien <math>g=Tf</math> (presque partout).
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