« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions
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→Exercice 7-3 : remarque : petite généralisation de cette inégalité de Sobolev |
→Exercice 7-4 : +1 (corrigé demain) |
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Voir aussi l'exercice 1 de [http://www.cmap.polytechnique.fr/~haddar/Cours/ENSTA/ma201-td06corr.pdf cet énoncé] et de [http://www.cmap.polytechnique.fr/~haddar/Cours/ENSTA/ma201-td06corr.pdf ce corrigé].
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==Exercice 7-5==
{{Wikipédia|Théorème ergodique de von Neumann}}
Soient <math>H</math> un espace de Hilbert et <math>T</math> un opérateur sur H de norme ≤ 1. Pour <math>n\in\N</math>, on note
:<math>T_n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nT^k</math>.
#Soit <math>x\in H</math> tel que <math>\langle Tx,x\rangle=\|x\|^2</math>. Montrer que <math>Tx=x</math>.
#Montrer que <math>\ker(\mathrm{id}-T)=\ker(\mathrm{id}-T^*)</math>.
#En déduire que <math>H=\ker(\mathrm{id}-T))\oplus\overline{\operatorname{im}(\mathrm{id}-T)}</math>.
#Montrer que <math>\lim\|T_n(x)\|=0</math> pour tout <math>x\in\operatorname{im}(\mathrm{id}-T)</math>, puis pour tout <math>x\in\overline{\operatorname{im}(\mathrm{id}-T)}</math>.
#Soit <math>P</math> la projection orthogonale sur <math>\ker(\mathrm{id}-T)</math>. Montrer que pour tout <math>x\in H</math>, <math>\lim\|T_n(x)-P(x)\|=0</math>.
#''Application.'' Soient <math>H=\mathrm L^2(\R/2\pi\Z)</math> et <math>\alpha\in\R\setminus(2\pi\Q)</math>.<br>Montrer que pour tout <math>f\in H</math>, <math>\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nf(\cdot+n\alpha)\to m(f)</math> dans <math>H</math>, où <math>m(f)</math> est la fonction constante égale à <math>\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\,\mathrm dt</math>.
<!--<br>''Indication : résoudre l'équation <math>Tf=f</math> par analyse de Fourier.''
On pourra utiliser que <math>(t\mapsto\mathrm e^{\mathrm int})_{n\in\Z}</math> est une base hilbertienne, et montrer que <math>\ker(\mathrm{id}-T)</math> est réduit aux fonctions constantes.
https://agreg-maths.fr/uploads/versions/148/thm_ergodique_von_neumann_scourte.pdf
https://www.math.u-bordeaux.fr/~cdossal/Enseignements/L3-Hilbert/eHaF3.pdf-->
{{Solution|contenu={{en cours}}
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