« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions
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==Exercice 7-5==
{{Wikipédia|Théorème ergodique de von Neumann}}
Soient <math>H</math> un espace de Hilbert et <math>T</math> un opérateur sur <math>H</math> de norme ≤ 1. Pour <math>n\in\N</math>, on note
:<math>T_n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nT^k</math>.
#Soit <math>x\in H</math> tel que <math>\langle Tx,x\rangle=\|x\|^2</math>. Montrer que <math>Tx=x</math>.
#Montrer que <math>\ker(\mathrm{id}-T)=\ker(\mathrm{id}-T^*)</math>.
#En déduire que <math>H=\ker(\mathrm{id}-T
#Montrer que <math>\lim\|T_n(x)\|=0</math> pour tout <math>x\in\operatorname{im}(\mathrm{id}-T)</math>, puis pour tout <math>x\in\overline{\operatorname{im}(\mathrm{id}-T)}</math>.
#Soit <math>P</math> la projection orthogonale sur <math>\ker(\mathrm{id}-T)</math>. Montrer que pour tout <math>x\in H</math>, <math>\lim\|T_n(x)-P(x)\|=0</math>.
#''Application.'' Soient <math>H=\mathrm L^2(\R/2\pi\Z)</math> et <math>\alpha\in\R\setminus(2\pi\Q)</math>.<br>Montrer que pour tout <math>f\in H</math>, <math>\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nf(\cdot+n\alpha)\to m(f)</math> dans <math>H</math>, où <math>m(f)</math> est la fonction constante égale à <math>\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\,\mathrm dt</math>.
#Se déduit du cas d'égalité dans l'[[Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques#Positivité|inégalité de Cauchy-Schwarz]] (et de l'hypothèse <math>\|T\|\le1</math>) , car <math>\|x\|^2=\langle Tx,x\rangle\le\|Tx\|\|x\|\le\|x\|^2</math>.
#Conséquence immédiate de la question précédente.
#Se déduit de la question précédente, sachant {{supra|Exercice 7-1}} que pour tout opérateur <math>S</math>, <math>\ker S^*=(\operatorname{im}S)^\bot</math> donc <math>(\ker S^*)^\bot=\overline{\operatorname{im}S}</math>.
#Si <math>x=y-Ty</math> alors <math>T_n(x)=\frac1{n+1}(y-T^{n+1}y)</math> donc <math>\|T_n(x)\|\le\frac2{n+1}\|y\|\to0</math>.<br>Si <math>x\in\overline{\operatorname{im}(\mathrm{id}-T)}</math>, soient <math>\varepsilon>0</math> et <math>y\in\operatorname{im}(\mathrm{id}-T)</math> tel que <math>\|x-y\|\le\varepsilon</math> ; alors, <math>\|T_n(x)\|\le\varepsilon+\|T_n(y)\|\le2\varepsilon</math> pour <math>n</math> assez grand.
#Corollaire des deux questions précédentes et du fait que pour tout <math>x\in\ker(\mathrm{id}-T)</math>, <math>T_n(x)=x</math>.
#Il suffit d'appliquer ce qui précède à l'opérateur <math>T</math> sur <math>H</math> défini par <math>Tf(x)=f(x+\alpha)</math>, de norme <math>1</math> et tel que <math>\ker(\mathrm{id}-T)</math> est réduit aux fonctions constantes (par [[Série de Fourier|analyse de Fourier]]).
▲{{Solution|contenu={{en cours}}
}}
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