« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions

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#Par le même raisonnement, <math>Q(a_i)=\pm1</math>. En fait, <math>Q(a_i)=1</math> car sur <math>\R</math>, puisque <math>Q</math> est unitaire et ne s'annule pas (car <math>QR=1+T^2>0</math>), <math>Q>0</math>. Par conséquent, <math>Q=1+TU</math> avec (puisque <math>Q</math> est unitaire et de degré <math>\le n</math>), <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=1</math> est impossible (<math>T^2+1</math> n'est pas divisible par <math>T+1</math>) donc <math>U=0</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
 
Références :
(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf<!-- et de ce document : <nowiki>https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa</nowiki>-->.)
*Questions 1 et 2 = exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf ;
*Question 3 = {{Lien web|url=https://math.stackexchange.com/questions/317622/x-a-1x-a-2-cdots-x-a-n2-1-is-irreducible-over-mathbb-q|titre=<math>[(x-a_1)(x-a_2)\dots(x-a_n)]^2+1</math> is irreducible over Q}} (résolue différemment) ;
*Les trois questions ont été posées par Issai Schur en 1908 et 1909, cf. {{Article|lang=en|titre=Irreducibility criteria of Schur-type and Pólya-type|auteur=K. Győry|prénom2=L.|nom2=Hajdu|prénom3=R.|nom3=Tijdeman|revue=Monatsh. Math.|date=2011|vol=163|page=415-443|doi=10.1007/s00605-010-0241-9}} : les questions 1 et 2 ont été rapidement résolues. La question 3 a été résolue et généralisée en 1926.
}}
 
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