Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers

Polynômes à coefficients entiers
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Exercices no4
Leçon : Polynôme

Exercices de niveau 14.

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Exercice 4-1Modifier

On note   l’ensemble des polynômes unitaires de degré   de   dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

  1. Montrer que   est fini.
  2. Soit   un élément de  . On note   le polynôme  . Montrer que  .
  3. Montrer que les racines non nulles des éléments de   sont des racines de l'unité.

Exercice 4-2Modifier

Soient   n entiers deux à deux distincts ( ) et  . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans  , le polynôme   est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont  .

  1.   avec n impair ;
  2.   ;
  3.  .

Exercice 4-3Modifier

Soient   un polynôme à coefficients entiers, et   ( ,  ) une racine rationnelle de  , écrite sous forme irréductible.

  1. Montrer que  .
  2. En déduire que   et  .
  3. En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
  4. Déduire du 1. que   et  .
  5. Déduire du 1. que s'il existe deux entiers relatifs distincts   et   tels que   alors   et  .
  1. Le polynôme   est-il irréductible dans   ? dans   ? dans   ?
  2. Et le polynôme   ?
  3. Et le polynôme   ?

Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans   les polynômes suivants :

 ,  ,  .

Exercice 4-4Modifier

Soit  .

  1. Montrer que   est irréductible dans  .
  2. Soient   ses racines complexes. Calculer   et en déduire que les racines de   ne sont pas toutes réelles.
  3. Combien   a-t-il de racines réelles ? (On pourra calculer   et  ).

Montrer que le polynôme   :

  1. n'est pas irréductible sur   mais l'est sur   ;
  2. a exactement une racine réelle et que celle-ci est un irrationnel négatif.

Exercice 4-5Modifier

  1. Le polynôme   est-il irréductible sur   ? sur   ? sur   ?
  2. Montrer que   a exactement deux racines réelles non rationnelles.
  3. Le polynôme   est-il irréductible sur   ? sur   ?
  4. Le polynôme   est-il irréductible sur   ? sur   ? sur   ?
  5. Montrer que le polynôme   est irréductible dans  .
  6. Montrer que le polynôme   est irréductible dans  .

Exercice 4-6Modifier

Soient   et (pour  ),   entiers relatifs distincts  . On pose

 

puis, pour tout   :

 

  est un nombre premier fixé.

  1. Montrer que pour   assez grand,   a exactement   racines réelles.
  2. Montrer que   est irréductible dans  .