Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers
Exercice 4-1
modifierOn note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 4-2
modifierSoient n entiers deux à deux distincts ( ) et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .
- avec n impair ;
- ;
- .
Soient tels que avec, sans perte de généralité, unitaires et . Montrons que .
- et donc et . Par conséquent, avec (pour des raisons de degrés et de coefficients dominants) ou . Mais est impossible (on aurait donc pair). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, avec ou . Mais est impossible (on aurait , non unitaire). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, . En fait, car sur , puisque est unitaire et ne s'annule pas (car ), . Par conséquent, avec (puisque est unitaire et de degré ), ou . Mais est impossible ( n'est pas divisible par ) donc , si bien que .
Références :
- Questions 1 et 2 = exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf ;
- Question 3 = « is irreducible over Q » (résolue différemment) ;
- Les trois questions ont été posées par Issai Schur en 1908 et 1909, cf. (en) K. Győry, L. Hajdu et R. Tijdeman, « Irreducibility criteria of Schur-type and Pólya-type », Monatsh. Math., vol. 163, 2011, p. 415-443 [lien DOI] : les questions 1 et 2 ont été rapidement résolues. La question 3 a été résolue et généralisée en 1926.
Exercice 4-3
modifierSoient un polynôme à coefficients entiers, et ( , ) une racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible.
- Montrer que .
- En déduire que et .
- En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
- Déduire du 1. que et .
- Déduire du 1. que s'il existe deux entiers relatifs distincts et tels que alors et .
- Dans , donc . Comme et sont premiers entre eux, est donc divisible par non seulement dans mais même dans (en effet avec, puisque :
d'après le lemme de Gauss.
Pour un argument plus général, voir Contenu d'un polynôme). - Le terme constant et le coefficient dominant de sont respectivement et .
- Si de plus , alors .
- et .
- et sont tous deux égaux à et distincts, donc opposés.
, et .
Référence pour les questions 1 à 4 : exercice 12 de Emmanuel Lepage, « M1, Algèbre et théorie de Galois, TD n° 3, Solutions », sur webusers.imj-prg.fr, .
- Le polynôme est-il irréductible dans ? dans ? dans ?
- Et le polynôme ?
- Et le polynôme ?
- est scindé dans . Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont , or et .
- Mêmes réponses que pour . Les seules éventuelles racines rationnelles sont , or .
- Mêmes réponses que pour et . Les seules éventuelles racines rationnelles sont et , et l'on vérifie que ces quatre nombres ne sont pas racines.
Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans les polynômes suivants :
- , , .
On trouve facilement les racines rationnelles de ces trois polynômes grâce à la condition nécessaire ci-dessus ( et ) : 5/3 pour , 1/2 et –3 pour et aucune pour .
et est irréductible sur (et même sur ).
et est irréductible sur .
est irréductible sur . En effet, comme il est unitaire, il serait sinon réductible sur . Or une étude de variations montre rapidement que sur , est strictement positif (de minimum ) donc produit de trois polynômes irréductibles de degré 2. Aucun d'eux n'est à coefficients entiers, sinon on aurait avec , ce qui implique et donc , absurde.
Exercice 4-4
modifierSoit .
- Montrer que est irréductible dans .
- Soient ses racines complexes. Calculer et en déduire que les racines de ne sont pas toutes réelles.
- Combien a-t-il de racines réelles ? (On pourra calculer et ).
- Comme est à coefficients premiers entre eux, pour voir qu'il est irréductible dans il suffit d'appliquer le critère d'Eisenstein avec .
- Notons et . L'une des identités de Newton (ou un calcul direct) montre que . Ici et , donc . Les ne peuvent donc pas être tous réels.
- et donc a une racine réelle au moins entre et , une entre et , et une entre et . Mais a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc a exactement trois racines réelles.
Montrer que le polynôme :
- n'est pas irréductible sur mais l'est sur ;
- a exactement une racine réelle et que celle-ci est un irrationnel négatif.
- , avec irréductible sur d'après le critère d'Eisenstein, donc aussi.
- Sur , la fonction polynomiale est de dérivée > 0 donc elle est strictement croissante et s'annule exactement une fois. Cette racine est négative car , et irrationnelle d'après la question précédente.
Exercice 4-5
modifier- Le polynôme est-il irréductible sur ? sur ? sur ?
- Montrer que a exactement deux racines réelles non rationnelles.
- Le polynôme est-il irréductible sur ? sur ?
- Le polynôme est-il irréductible sur ? sur ? sur ?
- Montrer que le polynôme est irréductible dans .
- Montrer que le polynôme est irréductible dans .
Aucun de ces polynômes n'est irréductible sur puisqu'ils sont de degré .
- D'après le critère d'Eisenstein avec , est irréductible sur . Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur .
- donc , or . Par convexité, a donc exactement deux racines réelles. Puisqu'il est irréductible sur , ces racines sont irrationnelles.
- D'après le critère d'Eisenstein avec , est irréductible sur . Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur .
- n'est pas irréductible sur . D'après le critère d'Eisenstein avec , il est irréductible sur .
- Regardons S comme un polynôme en à coefficient dans l'anneau factoriel . D'après le critère d'Eisenstein généralisé avec , S est irréductible sur , donc sur puisqu'il est unitaire donc primitif.
- Idem avec .
Exercice 4-6
modifierSoient et (pour ), entiers relatifs distincts . On pose
puis, pour tout :
où est un nombre premier fixé.
- Montrer que pour assez grand, a exactement racines réelles.
- Montrer que est irréductible dans .
- En , (pour ) et , est alternativement strictement positif et strictement négatif. Posons . Si — c'est-à-dire si est assez grand — chaque (pour ) est strictement de même signe que . Alors, a au moins racines réelles (pour ).
D'autre part, d'après le théorème des fonctions implicites, pour assez grand, les racines complexes de sont à distance de celles de . En particulier, a alors au plus racines réelles car au moins deux racines non réelles (à distance de ). - D'après le critère d'Eisenstein, le polynôme unitaire est irréductible sur donc aussi.