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#<math>\frac{f(a+tu)-f(a)}t=\frac{\mathrm df_a(tu)+\|tu\|\varepsilon(tu)}t=\mathrm df_a(u)+\frac{|t|}t\|u\|\varepsilon(tu)=\mathrm df_a(u)+\eta(t)</math>,<br>avec <math>\lim_0\varepsilon=0</math> donc <math>\lim_0\eta=0</math>. (D'après la question précédente, on pourrait même se limiter au cas où <math>u</math> est unitaire.)
#Il suffit de considérer la courbe rectiligne <math>\gamma(t)=a+tu</math>.
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==Exercice 16==
Soient <math>E_1</math>, <math>E_2</math> et <math>F</math> trois e.v.n. et <math>g:E=E_1\times E_2\to F</math> une application dont l'une des deux dérivées partielles est définie au voisinage d'un point <math>a\in E</math> et continue en ce point, et l'autre est simplement définie au point <math>a</math>. Montrer que <math>g</math> est différentiable en ce point.
{{Solution|contenu=
Supposons par exemple que c'est <math>\partial_2g</math> qui est continue au point <math>a=(a_1,a_2)</math>. Pour tout <math>h=(h_1,h_2)\in E</math>,
:<math>g(a+h)-g(a)=g(a_1+h_1,a_2+h_2)-g(a_1+h_1,a_2)+\underbrace{g(a_1+h_1,a_2)-g(a_1,a_2)}_{\partial_1g(a_1,a_2)h_1+o(\|h_1\|)}</math>.
Il reste donc à montrer que <math>g(a_1+h_1,a_2+h_2)-g(a_1+h_1,a_2)=\partial_2g(a_1,a_2)h_2+o(\|h\|)</math>.
Posons, pour <math>t\in E_2</math> :
:<math>\varphi_{h_1}(t)=g(a_1+h_1,a_2+t)-\partial_2g(a_1,a_2)t</math>.
Alors,
:<math>\mathrm D\left(\varphi_{h_1}\right)_t=\partial_2g(a_1+h_1,a_2+t)-\partial_2g(a_1,a_2)</math>
donc par continuité de <math>\partial_2g</math> en <math>a</math>, la fonction
:<math>\delta:E\to[0,+\infty],\;h\mapsto\sup_{t\in\left[0,h_2\right]}|\!|\!|\mathrm D\left(\varphi_{h_1}\right)_t|\!|\!|</math>
tend vers <math>0</math> quand <math>\|h\|\to0</math>.
Enfin, d'après l'''inégalité'' des accroissements finis,
:<math>\left\|g(a_1+h_1,a_2+h_2)-g(a_1+h_1,a_2)-\partial_2g(a_1,a_2)h_2\right\|=\left\|\varphi_{h_1}(h_2)-\varphi_{h_1}(0)\right\|\le\delta(h)\|h_2\|</math>,
ce qui conclut.
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