« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions
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m →Propriétés : Donc ℚ n'est pas complet |
→Propriétés : +2e preuve de la complétude de R |
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*Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques complets (muni d'[[../Espace métrique#Produit d'espaces métriques|une distance appropriée]]) est complet ; par exemple, ℝ{{exp|''n''}} est complet pour la [[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|distance associée à la norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞].
}}
{{Démonstration déroulante|titre=
Soit <math>(u_n)</math> une suite de Cauchy dans ℝ.
*Une autre méthode consiste à remarquer que les deux suites <math>(\alpha_n)</math> et <math>(\beta_n)</math> définies par <math>\alpha_n=\sup_{k\ge k}u_k</math> et <math>\beta_n=\inf_{k\ge n}u_k</math> sont [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes|adjacentes donc convergent vers un même réel]]. On conclut grâce au [[Suites et récurrence/Comparaison de suites#Théorème des gendarmes|théorème des gendarmes]].
}}
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