« Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé » : différence entre les versions
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Ligne 40 :
#<math>P=S^2\Rightarrow P'=2SS'\Rightarrow P'^2=4S^2S'^2=P\times 4S'^2</math>.
#Si <math>P\mid P'^2</math>, toute racine de <math>P</math> est au moins double. Il y en a <math>4</math> au total, donc deux doubles ou une quadruple. Dans les deux cas, <math>P=S^2</math>.
}}
==Exercice 2-5==
Soit <math>f:\R\to\R</math> une application dérivable. Montrer que <math>f</math> est polynomiale de degré <math><n</math> si et seulement si
:<math>\forall(x_1,\dots,x_n)\in\R^n\quad\sum_{J\subset\{1,\dots,n\}}(-1)^{|J|}f\left(\sum_{j\in J}x_j\right)=0</math>.
(Indication : pour l'implication <math>\Rightarrow</math>, on pourra considérer l'application <math>\Delta_u:P(X)\mapsto P(X)-P(X+u)</math> et calculer de deux façons
différentes <math>(\Delta_{x_n}\circ\dots\circ\Delta_{x_1})(P)</math> lorsque <math>P</math> est un polynôme de degré <math><n</math>. Pour l'implication réciproque, raisonner par récurrence et utiliser la dérivabilité.)
{{Solution|contenu=
<math>\Delta_x</math> fait baisser de 1 le degré polynomial, donc si <math>P</math> est un polynôme de degré <math><n</math>, <math>\forall(x_1,\dots,x_n)\in\R^n\quad\sum_{J\subset\{1, \dots,n\}}(-1)^{|J|}f\left(\sum_{j\in J}x_j\right)=(\Delta_{x_n}\circ\dots\circ\Delta_{x_1})(P)(0)=0(0)=0</math>, donc <math>P</math> vérifie la propriété <math>{\cal P}_n</math> de l'énoncé.
Montrons la réciproque.
*Soit <math>f</math> vérifiant <math>{\cal P}_1</math>, alors <math>\forall x\in\R\quad f(x)=f(0)</math> donc <math>f</math> est constante ; c'est donc bien un polynôme de degré <math><1</math>.
*Supposons l'implication vraie pour <math>n</math>, et soit <math>f</math> vérifiant <math>{\cal P}_{n+1}</math>. Pour montrer que <math>f</math> est polynomiale de degré <math><n+1</math>, il suffit de montrer que <math>f'</math> vérifie <math>{\cal P}_n</math>, ce qui s'obtient en dérivant <math>{\cal P}_{n+1}</math> par rapport à <math>x_{n+1}</math>.
D'ailleurs, on montre aussi facilement que si <math>f'</math> vérifie <math>{\cal P}_n</math> alors <math>f</math> vérifie <math>{\cal P}_{n+1}</math>, car la fonction qui entre en jeu dans <math>{\cal P}_{n+1}</math> est nulle pour <math>x_{n+1}=0</math>. Cette remarque fournit une méthode pour prouver directement l'équivalence par récurrence.
}}
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