Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé
Exercice 2-1
modifierTrouver tous les polynômes tels que est divisible par .
On constate rapidement que le polynôme nul est solution et que les polynômes constants non nuls ne le sont pas.
Si un polynôme de degré est divisible par alors (par comparaison des degrés et coefficients dominants de et ) il existe tel que , d'où , donc . Réciproquement, tout polynôme de cette forme est divisible par son polynôme dérivé.
Autre méthode si (le cas étant trivial) : soient les racines de dans , de multiplicités avec . Alors les sont racines de avec multiplicités , donc , donc et donc est de la forme , donc , et puisque .
Exercice 2-2
modifierTrouver tous les tels que et .
Ces deux polynômes doivent être de degrés respectifs et , avec et donc ou , c'est-à-dire ou et avec . Dans ce cas, l'équation se traduit par . De même, se traduit par .
On a et (avec ) si et seulement si et avec . Le reste du système équivaut alors, de proche en proche, à : , d'où et .
Exercice 2-3
modifierMontrer qu'il n'est pas possible que sur un intervalle réel ouvert non vide, où et sont deux polynômes.
. Si sont non nuls, de degrés , ceci donne : absurde.
Exercice 2-4
modifierSoit .
- Montrer que s'il existe tel que alors divise .
- Si , démontrer la réciproque.
- .
- Si , toute racine de est au moins double. Il y en a au total, donc deux doubles ou une quadruple. Dans les deux cas, .
Exercice 2-5
modifierSoit une application dérivable. Montrer que est polynomiale de degré si et seulement si
- .
(Indication : pour l'implication , on pourra considérer l'application et calculer de deux façons différentes lorsque est un polynôme de degré . Pour l'implication réciproque, raisonner par récurrence et utiliser la dérivabilité.)
fait baisser de 1 le degré polynomial, donc si est un polynôme de degré , , donc vérifie la propriété de l'énoncé.
Montrons la réciproque.
- Soit vérifiant , alors donc est constante ; c'est donc bien un polynôme de degré .
- Supposons l'implication vraie pour , et soit vérifiant . Pour montrer que est polynomiale de degré , il suffit de montrer que vérifie , ce qui s'obtient en dérivant par rapport à .
D'ailleurs, on montre aussi facilement que si vérifie alors vérifie , car la fonction qui entre en jeu dans est nulle pour . Cette remarque fournit une méthode pour prouver directement l'équivalence par récurrence.