Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé

Polynôme dérivé
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Exercices no2
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Dérivation formelle

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Racines de polynômes
Exo suiv. :Arithmétique des polynômes
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Exercice 2-1Modifier

Trouver tous les polynômes   tels que   est divisible par  .

Exercice 2-2Modifier

Trouver tous les   tels que   et  .

Exercice 2-3Modifier

Montrer qu'il n'est pas possible que   sur un intervalle réel ouvert non vide, où   et   sont deux polynômes.

Exercice 2-4Modifier

Soit  .

  1. Montrer que s'il existe   tel que   alors   divise  .
  2. Si  , démontrer la réciproque.

Exercice 2-5Modifier

Soit   une application dérivable. Montrer que   est polynomiale de degré   si et seulement si

 .

(Indication : pour l'implication  , on pourra considérer l'application   et calculer de deux façons différentes   lorsque   est un polynôme de degré  . Pour l'implication réciproque, raisonner par récurrence et utiliser la dérivabilité.)