Statique des fluides/Exercices/Bateau

L'aire de la section de carène dans le plan de la ligne de flottaison d'un bateau de masse M est donnée par S = S₀ + ah où h désigne le tirant d'eau.

Bateau — Schéma

Quel sera le tirant d'eau de ce bateau en eau salée de masse volumique ρ_s ?

De combien faudra-t-il changer la masse du bateau pour que le tirant d'eau demeure le même en eau douce ?

Application numérique : M = 400 t, ρ_s = 1,05 g.cm^-3, S₀ = 100 m², a = 15 m.

Solution

Dans un premier temps, on redéfinit la poussée d'Archimède :

${\overrightarrow {\pi }}=\int _{V}\rho .{\overrightarrow {g}}.\mathrm {d} V$

On calcul le volume déplacé (d'eau de mer) :

$V=\int _{0}^{h}(S_{0}+a.h)\,{\rm {d}}h=\left[S_{0}.h+{a.h^{2} \over 2}\right]_{0}^{h}=S_{0}.h+{a.h^{2} \over 2}$

Le poids du volume de fluide occupant le volume déplacé est donc :

$\rho .V.g=\rho .g\left(S_{0}.h+{a.h^{2} \over 2}\right)=M.g$

Avec M.g le poids du bateau; on note que cette égalité n'est valable que si l’on est à l'équilibre.

On a finalement :

$\rho \left(S_{0}.h+{a.h^{2} \over 2}\right)=M$

En eau salée, on a :

$\rho _{s}\left(S_{0}.h_{s}+{a.{h_{s}}^{2} \over 2}\right)=M$ avec h_s le tirant d'eau en eau salée.

On résout pour h :

${a \over 2}h_{s}^{2}+S_{0}.h_{s}-{M \over \rho _{s}}=0$

On trouve finalement $h_{s}=3,09\,{\rm {m}}$

En eau douce, on a la même équation et on trouve (avec $\scriptstyle \rho =1000\,{\mathrm {k} g.m^{-3}}$)

$h_{\rm {eau~douce}}=3,22\,\mathrm {m}$

Le résultat n’est pas aberrant, puisque l’on flotte mieux en eau salé qu'en eau douce.

On veut donc:

${M_{\mathrm {e} au~salee} \over \rho S}={M_{\mathrm {e} au~douce} \over \rho _{\mathrm {e} au~douce}}$

$M_{\mathrm {e} au~douce}={\rho _{\mathrm {e} au~douce} \over \rho S}M_{\mathrm {e} au~salee}$

$M_{\mathrm {e} au~douce}=381\,{\mathrm {t} onnes}$

On doit donc charger 19 t en moins.