Statique des fluides/Exercices/Boite de conserve et mouette

Une boîte de conserve cylindrique de section A, retournée, flotte à la surface de la mer de densité d. Le poids de cette boîte de masse m est supporté par la pression de l'air comprimé à l'intérieur, qui obéit à l'équation des gaz parfaits (pV = K où K est une constante). Le sommet de la boîte dépasse l'eau d'une hauteur h. Une mouette vient se poser sur le fond de la boîte qui se trouve ainsi à affleurer le niveau de l'eau.

Quelle est la masse de la mouette ?

Quelles approximations doit-on faire pour ce calcul ? Dans quelles mesures ces approximations sont-elles justifiées ?

AN : A = 80 cm², d= 1,03 g cm^-3, h = 5 cm, m = 160 g.

Solution : 412 g

Mouette — Schéma

Solution

On définit la poussée d'Archimède dans chaque cas : on fait le PFD sur le système.

Dans le premier cas et en négligeant la masse de l'air contenu dans la boite :

$P+P_{air}=\rho .A.h_{1}.g\Leftrightarrow m=\rho Ah_{1}\!$ ;

dans le second :

$m+m_{mouette}=\rho .A.h_{2}\!$.

On considère l'air comme un gaz parfait, et de ce fait :

$pV=nRT=K\!$ constante car la quantité de matière reste constante dans les deux cas, et la température aussi.

D'où :

$p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}\!$,

avec :

$V_{1}=(h+h_{1})A\!$ et $V_{2}=h_{2}A\!$.

D'où :

$p_{1}(h+h_{1})=p_{2}h_{2}\!$

On utilise la loi fondamentale de l'hydrostatique :

$p(z)+\rho .g.z=cte\!$,

d'où :

$p_{1}+\rho .g.h_{1}=P_{a}\!$ ;

$p_{2}+\rho .g.h_{2}=P_{a}\!$.

Car il y a continuité de pression dans l'air et dans l'eau.

On a donc un système a cinq inconnues, et cinq équations :

${\begin{cases}m=\rho .A.h_{1}\\m+m_{mouette}=\rho .A.h_{2}\\P_{1}+\rho .g.h_{1}=P_{a}\\P_{2}+\rho .g.h_{2}=P_{a}\\P_{1}(h+h_{1})=P_{2}.h_{2}\end{cases}}$.

On résout les équations :

$h_{1}={M \over \rho A}=1,942\ \mathrm {cm} \!$,

puis

$P_{1}=P_{a}-\rho .g.h_{1}\!$.

On trouve que les deux pressions ont des valeurs très proches. Il en est de même P₂ et P_a.

Une autre équation se simplifie et donne :

$h+h_{1}=h_{2}\!$.

On trouve alors, en remplaçant :

$m+m_{mouette}=\rho .A.(h+{M \over \rho A})$.

et

$m_{mouette}=\rho .A.h=0,412\ \mathrm {kg}$

Précédemment, nous avons négligé la masse de l'air dans la boite :

$m_{air}=\rho _{air}.A.h=0,49\ \mathrm {g}$

Donc nous n'avons pas commis d'erreur grave...