Statique des fluides/Exercices/Nappe de pétrole

Une nappe de pétrole à la surface de la mer de densité s est contenue par une barrière flottante mince, circulaire de rayon R. La profondeur de la nappe est d. La densité du pétrole est p.

Nappe de pétrole — Schéma

1. Quelle est la hauteur h du pétrole au dessus de l’eau ?

2. La différence de pression de part et d’autre de la barrière génère une tension dans la barrière.

En écrivant l’équilibre d’un petit élément de surface cylindrique soumis à une pression interne P, établir la relation entre P et la tension dans la surface. Cette relation correspond à la Loi de Pascal pour un cylindre. Donner alors l’expression de la force de tension à laquelle est soumise la barrière et tracer son profil, quelle est sa valeur maximale ?

Rappel : une tension est une force par unité de longueur.

AN : p = 0,8 g cm-3, s = 1,03 g cm-3, R = 50 m, d = 25 cm

Solution : 5,58 cm, 21,9 103 N/m

Solution

1. On calcule la masse de pétrole :

$M_{p}=\rho _{p}d\pi R^{2}$

Masse du volume d'eau déplacé :

$M=\rho _{eau}(d-h)\pi R^{2}$

Poussée d'Archimède :

$\rho _{p}d\pi R^{2}=\rho _{eau}(d-h)\pi R^{2}$

$h=d(1-{\rho _{p} \over \rho _{eau}})$

On trouve :

$h=5cm$

Force de tension dans une barrière :

Pour une barrière fine, la différence de pression de part et d’autre de la barrière génère une tension dans la barrière.

C'est la loi de Pascal ( même chose que pour la tension superficielle dans une bulle).

On a alors :

$\Delta P={T \over R}$ pour un cylindre.

$\Delta P={2T \over R}$ pour une sphère.

Pour un cylindre, dans notre cas, on schématise la situation comme suivant :

Nappe de pétrole — Schéma

À l'équilibre, on a :

$\Delta PRd\Theta dz=2Tsin{d\Theta \over 2}dz$

On considère $d\Theta$ petit donc on a :

$sin({d\Theta \over 2})={d\Theta \over 2}$

$\Delta PR=T$

Finalement, on écrit :

$T=R\Delta P$

Différence de pression :

On schématise la situation en coupe comme suivant :

Nappe de pétrole — Schéma

On ne prends pas en compte la pression atmosphérique car elle agit des 2 cotés de la barrière.

On distingue les deux cas suivant :

${\begin{cases}z<h:\Delta P=-P_{petrole}\\z>h:\Delta P=-P_{petrole}+P_{eau}\end{cases}}$

${\begin{cases}z<h:\Delta P=-\rho _{petrole}gz\\z>h:\Delta P=-\rho _{petrole}gz+\rho _{eau}g(z-h)\end{cases}}$

Donc :

${\begin{cases}z<h:T=-R\rho _{petrole}gz\\z>h:T=Rg[z(\rho _{eau}-\rho _{petrole})-\rho _{eau}h]\end{cases}}$

Application numérique :

${\begin{cases}z<h:T=-392400z\\z>h:490,5(200z-50)\end{cases}}$