1. On cherche à déterminer P(Z) et . P étant la pression dans le ballon et la masse volumique de l'air dans celui-ci.
L'air est considéré comme un gaz parfait suivant la loi :
Dans un premier temps on isole pour obtenir l’expression suivante :
Dans un deuxième temps on écrit l'équation fondamentale de l'hydrostatique.
On remplace par l’expression trouvé précédemment et par la relation donnée dans l'énoncé.
avec :
On s'occupe uniquement de l'équation dans la direction de k.
On isole P d'un côté et Z de l'autre :
On intègre :
D'où :
où :
est la pression dans le ballon lorsqu’il touche la terre
G constante universelle de gravitation (en SI)
masse de la terre (en kg)
constante (en SI)
T température (en K)
z hauteur du ballon (en m)
rayon de la terre (en m)
Avec P(z) et l’expression que nous avons déterminé au début on peut trouver
On propose de calculer la pression pour z = 1000m et z = 10 000m. La température est supposée constante avec T = 20 °C. Dans un premier temps il faut convertir T en Kelvin.
avec :
t la température en °C.
T la température K.
la température absolue en K.
On obtient ainsi
On considère que lorsque la montgolfière est sur la terre on a
Nous pouvons maintenant déterminer la pression pour une altitude
De la même façon nous pouvons calculer la pression à une altitude
On remarque que plus on monte en altitude et moins la pression à l'intérieur du ballon est grande. Cela provient du fait que la pression atmosphérique diminue avec l'altitude.
2. Le graphe prouve ce qu'on a dit précédemment sur le fait que la pression atmosphérique diminue avec l'altitude. La courbe représente une portion d'une fonction ce qui correspond avec ce que nous avons trouvé précédemment. Dans l’expression pour déterminer la pression on a un terme exponentiel. De plus si on compare sur la courbe la valeur de la pression pour une altitude de 1000 et 10 000 mètres, on trouve des valeurs similaires à celles calculées.
On souhaite déterminer la température que doit avoir l'air contenu dans le ballon pour que celui-ci flotte à une altitude de 1 500 m.
Maintenant la température n'est plus considérée constante. L'air est plus chaud à l'intérieur du ballon donc la masse volumique de l'air à l'intérieur est inférieure à celle de l'air extérieur. Ainsi il y a la poussée d'Archimède qui s'applique sur le ballon.
On considère qu’à une altitude de 1 500 m l'air extérieur est froid et est égale à
Les différentes forces qui agissent sur la montgolfière sont : le poids de celle-ci, le poids de l'air dans le ballon et la poussée d'Archimède.
La montgolfière flotte à une altitude constante, on peut donc écrire :
À partir de la loi du gaz parfait, on peut remplacer et
Avec :
M la masse de la montgolfière (en kg)
V le volume d'air dans le ballon (en m3)
On commence par calculer la pression pour une altitude de 1 500 m en utilisant la formule déterminée à la question précédente.
Ensuite on calcule la température, en kelvins, dans le ballon.
Nous pouvons maintenant déterminer la température que doit avoir l'air dans le ballon pour que la montgolfière flotte à une altitude de 1 500 m.
°C