Statique des fluides/Exercices/Tachimètre hydrostatique

Solution

1. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit pour les solides :

$\sum {{\vec {F}}_{ext}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$

Pour les fluides, ce principe s'écrit sous sa forme différentielle :

$-\rho {\vec {g}}-{\vec {\nabla }}p+{\vec {\nabla }}{\vec {\tau }}=\rho {\vec {a}}$

On considère le fluide non visqueux (fluide parfait) donc le torpeur des forces de viscosité τ est nul. D'où :

$-{\vec {\nabla }}p+\rho {g}=\rho {\vec {a}}$

Le cylindre tourne autour de son axe avec une vitesse de rotation angulaire ω constante. La position d'une particule de fluide dans la description de Lagrange est exprimée en coordonnées cylindriques:

${\vec {OM}}=r{\vec {e_{r}}}+z{\vec {e_{z}}}$

d'où

${\vec {v}}=-r\omega {\vec {e_{\theta }}}$ et ${\vec {a}}=-r\omega ^{2}{\vec {e_{r}}}$

Après projection du principe fondamental de la dynamique, on obtient ;

${\frac {\partial p}{\partial \theta }}=0$ et ${\frac {\partial p}{\partial z}}=-\rho g$

On a :

${\frac {\partial p}{\partial z}}={\frac {\partial }{\partial z}}(\rho {\frac {r^{2}}{2}}\omega ^{2}+f(z))=f'(z)=-\rho g=>f(z)=-\rho gz+p_{0}$

$p(r,z)=\rho {\frac {r^{2}}{2}}\omega ^{2}-\rho gz+p_{0}$

2. À la vitesse ω0 le fond du cylindre (z = 0) est sec et la pression y est égale à la pression atmosphérique.

$p(r=0,z=0)=p_{atm}$

L'équation de la question 1 devient alors :

$p(r,z)=\rho {\frac {r^{2}}{2}}\omega _{0}^{2}-\rho gz+p_{atm}$

À la surface de l'huile on a en tout point la pression atmosphérique. Soit :

$p(r,z)=\rho {\frac {r^{2}}{2}}\omega _{0}^{2}-\rho gz+p_{atm}=p_{atm}\Leftrightarrow \rho {\frac {r^{2}}{2}}\omega _{0}^{2}=\rho gz{\text{ soit }}z={\frac {\omega _{0}^{2}r^{2}}{2g}}$

On utilise maintenant le fait que le volume d'huile est le même quelle que soit la vitesse de rotation ; car le fluide est supposé incompressible. Quand ω=0, ce volume s'exprime comme le volume d'un cylindre :

$V_{huile}(w=0)=\pi R^{2}h_{0}$

Quand ω= ω0 ce volume se calcule en intégrant l’expression de z sur le disque de rayon compris entre 0 et R :

$\int _{0}^{R}2\pi rzdr=\int _{0}^{R}2\pi r{\frac {\omega _{0}^{2}r^{2}}{2g}}dr=\pi {\frac {\omega _{0}^{2}}{g}}\int _{0}^{R}r^{3}dr=\pi {\frac {\omega _{0}^{2}R^{4}}{4g}}$

${\text{On a donc : }}\omega _{0}^{2}={\frac {4gh_{0}}{R^{2}}}$

${\text{On a : }}p(R,h_{max})=p_{atm}{\text{ pour }}\omega =\omega _{0}$

3. Pour ω = ω₀, on peut donc écrire l'équation de la question 1 qui devient :

$\rho gh_{max}=\rho {\frac {R^{2}}{2}}\omega _{0}^{2}$

On obtient l’expression de h en remplaçant ω₀^2 par l’expression déterminée à la question précédente.

$h_{max}={\frac {R^{2}}{2g}}\omega _{0}^{2}={\frac {R^{2}4gh_{0}}{2gR^{2}}}=2h_{0}$

4. Dans cette question, la vitesse est telle que :

$\omega <\omega _{0}$

Au point A (r=0 ; z_a) on a :

$p(0,z_{a})=-\rho gz_{a}+p_{0}=p_{atm}{\text{ (i)}}$

En tout point de la surface de l'huile on a :

$p(r,z)=\rho {\frac {r^{2}}{2}}\omega ^{2}-\rho gz+p_{0}=p_{atm}{\text{ (ii)}}$

${\text{(ii) = (i)}}\leftrightarrow -\rho gz_{a}=\rho {\frac {r^{2}\omega ^{2}}{2}}-\rho gz\leftrightarrow z={\frac {r^{2}\omega ^{2}}{2g}}+z_{a}$

Si on écrit cette relation au point C (R,h) on obtient :

$h={\frac {R^{2}\omega ^{2}}{2g}}+z_{a}{\text{ (iii)}}$

On va utiliser maintenant le fait qu’il y a conservation du volume d'huile, comme dans la question 2 :

$V_{huile}(w)=\int _{0}^{R}2\pi rzdr=\int _{0}^{R}2\pi r({\frac {\omega ^{2}r^{2}}{2g}}+z_{a})dr=\int _{0}^{R}2\pi rz_{a}dr+\int _{0}^{R}\pi {\frac {\omega ^{2}r^{3}}{g}}dr=\pi R^{2}z_{a}+\pi {\frac {\omega ^{2}R^{4}}{4g}}$

${\text{Soit : }}V_{huile}(\omega )=V_{huile}(\omega =0)=\pi R^{2}h_{0}\leftrightarrow R^{2}z_{a}+{\frac {\omega ^{2}R^{4}}{4g}}=R^{2}h_{0}\leftrightarrow z_{a}=h_{0}-{\frac {\omega ^{2}R^{2}}{4g}}$

En remplaçant z_a par son expression dans la relation (iii), on obtient :

$h={\frac {\omega ^{2}R^{2}}{4g}}+h_{0}$

or d’après la question 3

$h_{0}={\frac {\omega _{0}^{2}R^{2}}{4g}}$

${\text{Donc : }}h={\frac {R^{2}}{4g}}(\omega ^{2}+\omega _{0}^{2})$

Par définition un tachymètre est un appareil de mesure de la vitesse angulaire d'un arbre en rotation. On vient de donner la relation liant la vitesse angulaire à la hauteur h. Le système étudié est un tachymètre dans la mesure où la lecture de la hauteur h permet d’en déduire immédiatement la vitesse de rotation angulaire du cylindre. Le système n’est pas hydrostatique à proprement parler. En revanche, lorsque la vitesse ω est établie, la hauteur maximale de l'huile ainsi que la « forme » qu'elle prend restent constants. On peut donc considérer que le système est hydrostatique.