Statique des fluides/Exercices/Rotation circulaire uniforme

Soit un pot de miel placé sur un disque tournant avec une vitesse angulaire $\Omega$ constante.

1. Exprimer les vecteurs positions et le champ de vitesse des particules du miel dans le cas d'une description lagrangienne et d'une description eulérienne du mouvement.

2. Calculer le rotationnel de la vitesse du miel.

3. Calculer l'accélération des particules de miel dans le cas d'une description lagrangienne et d'une description eulérienne du mouvement.

4. Refaire le même calcul avec une vitesse angulaire proportionnel au temps.

Solution

1.Vecteurs positions et champ de vitesse

Nous représentons le pot de miel de la manière suivante :

Soit le point M, un point quelconque représentant une particule de miel a pour coordonnées : M (r, $\Theta$, z).

Soit le vecteur ${\overrightarrow {OM}}$:

${\overrightarrow {OM}}=r{\overrightarrow {e_{(\Theta )}}}+z{\overrightarrow {e_{z}}}$

Expression des vecteurs de position du point M

• Dans le cadre d'une description lagrangienne, nous avons : ${\overrightarrow {OM_{L}}}={\begin{pmatrix}r=r_{\Theta }\\\Theta =\omega t+\Theta _{0}\\z=z_{0}\end{pmatrix}}$

• Dans le cadre d'une description eulérienne, nous avons : ${\overrightarrow {OM_{E}}}={\begin{pmatrix}r\\\Theta \\z\end{pmatrix}}$

"Expression du champ de vitesse des particules de miel"

• Description en Lagrangien:

Pour obtenir l’expression du vecteur de la vitesse lagrangienne, nous dérivons l’expression du vecteur de position en lagrangien du point M. ${\overrightarrow {v_{L}}}={\frac {d{\overrightarrow {OM_{l}}}}{dt}}$ On sait que: ${\dot {\overrightarrow {e_{r}}}}={\dot {\Theta }}{\overrightarrow {e_{\Theta }}}{\dot {\overrightarrow {e_{\Theta }}}}=-{\dot {\Theta }}{\overrightarrow {e_{r}}}{\overrightarrow {v_{L}}}={\dot {r}}{\overrightarrow {e_{r}}}+r{\dot {\overrightarrow {e_{r}}}}+{\dot {z}}{\overrightarrow {e_{z}}}{\overrightarrow {v_{L}}}=r\omega {\overrightarrow {e_{\Theta }}}$

• Description eulérienne: Pour obtenir l’expression du vecteur de la vitesse eulérienne, nous dérivons l’expression du vecteur de position eulérien du point M. ${\overrightarrow {v_{e}}}=r\omega {\overrightarrow {e_{\Theta }}}$

2.Rotationnel de la vitesse

Le rotationnel de la vitesse du miel s'écrit de la façon suivante : ${\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v_{e}}}$

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{z}}{\partial \Theta }}-{\frac {\partial v_{e(\Theta )}}{\partial z}}\\{\frac {\partial v_{r}}{\partial {z}}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\\{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv_{\Theta )}}{\partial {r}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{r}}{\partial {\Theta }}}\end{pmatrix}}$
${\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v_{e}}}=$${\begin{pmatrix}0\\0\\2\omega {\overrightarrow {e_{z}}}\end{pmatrix}}$

3.L'accélération des particules de miel

Description Lagrangienne:

Pour obtenir l’expression du vecteur de l'accélération lagrangienne, nous dérivons l’expression du vecteur de la vitesse lagrangienne du point M. ${\overrightarrow {a_{L}}}={\frac {d{\overrightarrow {v_{L}}}}{dt}}={\frac {dr\omega {\overrightarrow {e_{\Theta }}}}{dt}}{\overrightarrow {a_{L}}}=r_{0}\omega .(-\omega {\overrightarrow {e_{r}}}){\overrightarrow {a_{L}}}=-r\omega ^{2}{\overrightarrow {e_{r}}}$

Description Euclérienne: Pour obtenir l’expression du vecteur de l'accélération eulérienne, nous dérivons l’expression du vecteur de la vitesse eulérienne du point M. ${\frac {dv_{e}}{dt}}=({\vec {v_{e}}}.{\vec {\nabla }}).{\vec {v_{e}}}+{\frac {\partial {\vec {v_{e}}}}{\partial {t}}}$ où ${\frac {\partial {\vec {v_{e}}}}{\partial {t}}}=0$

$({\vec {v_{e}}}.{\vec {\nabla }}).{\vec {v_{e}}}={\begin{cases}v_{Er}{\frac {\partial {v_{Er}}}{\partial {r}}}+v_{E\Theta }({\frac {\partial {v_{Er}}}{r\partial {\Theta }}}-{\frac {v_{E\Theta }}{r}})+v_{Ez}{\frac {\partial {v_{Er}}}{\partial {z}}}&\\v_{E\Theta }{\frac {\partial {v_{Er}}}{\partial {r}}}+v_{E\Theta }({\frac {\partial {v_{E\Theta }}}{r\partial {\Theta }}}-{\frac {v_{Er}}{r}})+v_{Ez}{\frac {\partial {v_{E\Theta }}}{\partial {z}}}&\\v_{Er}{\frac {\partial {v_{Ez}}}{\partial {r}}}+v_{E\Theta }{\frac {\partial {v_{Ez}}}{r\partial {\Theta }}}+v_{Ez}{\frac {\partial {v_{Ez}}}{\partial {z}}}\end{cases}}Soit:{\begin{cases}v_{Er}=0\\v_{E\Theta }=r\omega \\v_{Ez}=0\\\end{cases}}$

d'où :$({\vec {v_{e}}}.{\vec {\nabla }}).{\vec {v_{e}}}={\begin{cases}v_{E\Theta }(-{\frac {v_{E\Theta }}{r}})\\v_{E\Theta }({\frac {\partial {v_{E\Theta }}}{r\partial {\Theta }}})\\0\end{cases}}Donc:({\vec {v_{e}}}.{\vec {\nabla }}).{\vec {v_{e}}}={\begin{cases}-r\omega ^{2}\\0\\0\end{cases}}Ainsi:{\vec {a_{e}}}=-r\omega ^{2}{\vec {e_{r}}}$

4. Accélération des particules de miel avec une vitesse angulaire proportionnelle au temps

Description Lagrangienne

${\vec {v_{L}}}={\frac {d{\vec {OM_{L}}}}{dt}}=r\omega (t){\vec {e_{\Theta }}}$

${\vec {a_{L}}}={\frac {d{\vec {v_{L}}}}{dt}}={\frac {dr\omega (t){\vec {e_{\Theta }}}}{dt}}$

${\vec {a_{L}}}=-r\omega (t)^{2}{\vec {e_{r}}}+r\omega (t){\vec {e_{\Theta }}}$

Description Eulérienne

${\vec {v_{e}}}={\frac {d{\vec {OM_{L}}}}{dt}}=r\omega (t){\vec {e_{\Theta }}}$

${\vec {a_{e}}}={\frac {d{\vec {v_{E}}}}{dt}}=({\vec {v_{E}}}.{\vec {\nabla }}).{\vec {v_{E}}}+{\frac {\partial {v_{E}}}{\partial {t}}}\$avec\${\frac {\partial {v_{E}}}{\partial {t}}}=0$

avec : $({\vec {v_{e}}}.{\vec {\nabla }}).{\vec {v_{e}}}={\begin{cases}v_{Er}{\frac {\partial {v_{Er}}}{\partial {r}}}+v_{E\Theta }({\frac {\partial {v_{Er}}}{r\partial {\Theta }}}-{\frac {v_{E\Theta }}{r}})+v_{Ez}{\frac {\partial {v_{Er}}}{\partial {z}}}\\v_{E\Theta }{\frac {\partial {v_{Er}}}{\partial {r}}}+v_{E\Theta }({\frac {\partial {v_{E\Theta }}}{r\partial {\Theta }}}-{\frac {v_{Er}}{r}})+v_{Ez}{\frac {\partial {v_{E\Theta }}}{\partial {z}}}\\v_{Er}{\frac {\partial {v_{Ez}}}{\partial {r}}}+v_{E\Theta }{\frac {\partial {v_{Ez}}}{r\partial {\Theta }}}+v_{Ez}{\frac {\partial {v_{Ez}}}{\partial {z}}}\end{cases}}$

où : ${\begin{cases}v_{Er}&=0\\v_{E\Theta }&=r\omega \\v_{Ez}&=0\end{cases}}$

D'où : $({\vec {v_{e}}}.{\vec {\nabla }}).{\vec {v_{e}}}={\begin{cases}r\omega (t)({\frac {r\omega (t)}{r}})\\r\omega (t)({\frac {1}{r}}{\frac {\partial {r\omega (t)}}{\partial {\Theta }}})\\0\end{cases}}={\begin{cases}-r\omega (t)^{2}\\r\omega (t){\dot {w}}()t\\0\end{cases}}$

Ainsi : ${\vec {a_{e}}}=-r\omega (t)^{2}{\vec {e_{r}}}+r\omega (t){\dot {\omega }}(t){\vec {e_{\Theta }}}$