Statistique à une variable/Exercices/Fabriquant de tablettes de chocolat

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Au début de l'année 2010, elle prélève un échantillon dans sa production afin d'en vérifier la masse, en grammes :

Masse (g)	96	97	98	99	100	101	102	103
Effectif	5	6	9	13	32	16	5	4

1. 1. Déterminer la médiane et l'intervalle interquartile. Calculer l'écart interquartile.
   2. Dessiner sur le même schéma que ci-dessous le diagramme en boite de cette série.
Un échantillon représentatif de même taille a été prélevé fin 2009. Son diagramme en boite se trouve ci-dessous :



Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes, en justifiant votre réponse.

1. En fin 2009, environ trois quart des tablettes de chocolat avaient une masse supérieure à 101,5 g.
2. L'écart interquartile a été réduit de moitié entre fin 2009 et début 2010.
3. La moitié des tablettes vendues en 2009 ont une masse inférieure à celle de plus de trois quart de celles vendues en 2010.
2. Calculer la masse moyenne x, ainsi que l'écart type σ des tablettes de cet échantillon et arrondir au dixième.

Solution

1. 1. Masse (g)	Effectifs	Effectifs cumulés croissants
      96	5	5
      97	6	11
      98	9	20
      99	13	33
      100	32	65
      101	16	81
      102	5	86
      103	4	90

      Pour calculer la médiane, on a :

      ${\frac {90}{2}}=45$

      La médiane est la moyenne de la 45^e et de la 46^e valeur.

      $Me={\frac {100+100}{2}}=100$

      La médiane est donc 100 g.

      Pour calculer l'écart interquartile, il faut le 1^er et le 3^e quartile :

      $Q_{1}={\frac {90}{4}}=22,5$

      Le 1^er quartile est la 23^e valeur donc Q₁ = 99 g.

      $Q_{3}={\frac {3}{4}}\times 90=67,5$

      Le 3^e quartile est la 68^e valeur donc Q₃ = 101 g.

      On a donc :

      ${\begin{aligned}{\text{ecart interquartile}}&=Q_{3}-Q_{1}\\&=101-99\\&=2\ {\text{g}}\end{aligned}}$

   2. On a le diagramme en boîte suivant :

      

1. Faux. Q₃ = 101,5 g. donc trois quarts des tablettes ont une masse inférieure ou égale à 101,5 g.
2. En 2010, l’écart interquartile vaut 2. En 2009, Q₁ = 97 g et Q₃ = 101,5 g donc l'écart interquartile est 101,5 &minus 97 = 4,5. L'écart interquartile en 2010 vaut 4,5/2 = 2,25. Donc l’écart interquartile a été réduit de moitié entre la fin de 2009 et le début de 2010.
3. En 2009, 50 % des tablettes ont une masse inférieure ou égale à 98 g. (Me = 98 g.) En 2010, 75 % des tablettes ont une masse supérieure ou égale à 99 g. (Q₁ = 99 g.) C'est donc une affirmation vraie.
2. On a calculé la moyenne avec :

   ${\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {96\times 5+97\times 6+\ldots +103\times 4}{90}}\\&\approx 99,7\ {\text{g}}\end{aligned}}$

   La moyenne est environ 99,7 g. On a calculé l'écart type avec :

   ${\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {\frac {5\times (96-99,7)^{2}+6\times (97-99,7)^{2}+\ldots +4\times (103-99,7)^{2}}{90}}}\\&\approx 1,6\end{aligned}}$

   L'écart type est environ 1,6.