Statistique à une variable/Exercices/Polygone des effectifs cumulés croissants

Une coopération laitière fabrique un fromage devant contenir, selon l'étiquette, 50 % de matière grasse. Un organisme de contrôle qualité prélève 100 fromages et les analyse. Voici les résultats.

Taux de matière grasse mesuré	[ 45 ; 47 [	[ 47 ; 49 [	[ 49 ; 51 [	[ 51 ; 53 [	[ 53 ; 55 [
Effectif	6	25	45	21	3

1. 1. Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants.
   2. Déterminer graphiquement la médiane et les quartiles.
2. Déterminer le taux moyen de matière grasse x et l'écart type σ de cet échantillon.

3. L’appellation « 50 % de matière grasse » peut être utilisée si les deux conditions suivantes sont remplies :
   1. le nombre 50 à l'intervalle [x − 0,3 ; x + 0,3]
   2. plus de 90 % des fromages analysés ont un taux de matière grasse appartenant à l'intervalle [x − 2σ ; x + 2σ]
Que dire de la production de cette coopérative ? Expliquer.

Solution

1. 1. On a le polygone des effectifs cumulés croissants suivant :

      

   2. La médiane vaut environ 48,8 % de matière grasse sur la ligne 50 (l'effectif total/2), le 1^er quartile vaut environ 47,5 % sur la ligne 25 (l'effectif total/4) et le 3^e quartile vaut environ 49,9 % sur la ligne 75 (3/4 × l’effectif total).
2. La moyenne est calculée par :

   ${\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {6\times 46+25\times 48+45\times 50+21\times 52+3\times 54}{6+25+45+21+3}}\\&=49,8\end{aligned}}$

   La moyenne vaut 49,8 % de matière grasse. L'écart type σ de cet échantillon est calculé par :

   ${\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {\frac {6\times (46-49,8)^{2}+\ldots +3\times (54-49,8)^{2}}{6+25+45+21+3}}}\\&=1,8\end{aligned}}$

   L'écart type de cet échantillon vaut 1,8.
3. La première condition est si la pourcentage 50 appartient à [ x - 0,3 ; x + 0,3 ] qui vaut [ 49,5 ; 50,1 ]. Donc la 1^re condition est atteinte. La seconde condition est si plus de 90 % des fromages ont une valeur qui appartient à l'intervalle [ x - 2σ ; x + 2σ ] qui vaut [ 47,2 ; 53,4 ]. D'après le graphique, 10 % des fromages ont moins de 47,2 % de matière grasse et 98 % ont moins de 53,4 % de matière grasse donc 98 - 10 = 88 % des fromages appartient à l'intervalle [ x - 2σ ; x + 2σ ] donc la seconde condition n'est pas atteinte. L’appellation « 50 % de matière grasse » est donc fausse.