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Ce chapitre décrit de façon succincte la structure d'anneau, et donne les exemples fondamentaux.
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Structure algébrique : Anneau (mathématiques)
Structure algébrique/Anneau (mathématiques) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Un
anneau 
est un ensemble

muni de deux lois de composition internes

et

vérifiant les propriétés suivantes :
est un groupe abélien.
- la loi
est associative.
- La loi
est distributive à gauche et à droite sur la loi
, c'est-à-dire :
et
.
Un anneau
est dit unitaire si la loi
possède un élément neutre.
Un anneau

est dit
commutatif (ou
abélien) si la loi

est commutative.
Voyons maintenant quelques exemples classiques permettant d'illustrer la définition et la remarque.
Début de l'exemple
Exemple
L'anneau des entiers relatifs 
: Considérons l'ensemble

des entiers relatifs muni de l'addition et de la multiplication usuelles. Alors, le triplet

est un anneau commutatif unitaire où l'élément neutre pour l'addition est

et l'élément neutre pour la multiplication est

. L'ensemble des éléments inversibles est

.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple
L'anneau 
: On considère l'ensemble des entiers pairs

que l'on munit également de l'addition et de la multiplication usuelles. C'est alors un anneau inclus dans l'anneau

(on parle alors de sous-anneau) qui est commutatif mais pas unitaire, et l'élément neutre pour l'addition est toujours 0.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple
L'anneau 
: On considère l'ensemble

des entiers modulo un entier

que l'on munit de l'addition et de la multiplication modulo

. C'est un anneau unitaire et commutatif dont l'élément neutre pour l'addition est la classe d'équivalence de

, et l'élément neutre pour la multiplication est la classe de

. L'ensemble des éléments inversibles est

où

désigne la classe d'équivalence de

.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple
L'anneau des polynômes ![{\displaystyle \mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d740527b0b7f949b4bf9c9ce004134bb490b68)
: On considère l'ensemble des polynômes à coefficients réels
![{\displaystyle \mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d740527b0b7f949b4bf9c9ce004134bb490b68)
muni de l'addition et de la multiplication des polynômes. C'est un anneau commutatif unitaire dont l'élément neutre pour l'addition est le polynôme nul, et l'élément neutre pour la multiplication est le polynôme constant égal à

. L'ensemble des éléments inversibles est

. Notons que l'on peut définir de façon similaire l'anneau des polynômes à coefficient dans un anneau commutatif

que l'on note
![{\displaystyle A[X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0195132abd0b4f9fb108e9c38838f3b60f33b0)
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple
L'anneau des matrices 
: On considère l'ensemble des matrices carrées de taille

à coefficient dans

muni de l'addition et la multiplication usuelles des matrices. C'est un anneau unitaire mais non commutatif dont l'élément neutre pour l'addition est la matrice nulle et l'élément neutre pour la multiplication est la matrice identité

. L'ensemble des éléments inversibles est

. Comme dans l'exemple précédent, on peut également considérer l'ensemble des matrices carrées à coefficient dans un anneau

.
Fin de l'exemple
Voyons maintenant une propriété qui montre les subtilités de la structure d'anneau. Observons l'exemple suivant sur l'anneau des matrices : soit
; un calcul direct montre que
. Cet exemple montre que dans un anneau il est possible qu'un produit soit nul sans qu'aucun des facteurs ne le soit. Cela pousse à définir la notion d'anneau intègre suivante :
Définition
Un anneau

, avec

, est dit
intègre si la propriété suivante est vérifiée :

.
À l'exception de l'anneau des matrices, tous les anneaux présentés dans l'exemple précédent sont intègres. Cette propriété est très utile pour la résolution d'équation produit-nul comme dans les ensembles de nombres classiques.
Pour conclure cette présentation des concepts fondamentaux de la théorie des anneaux, intéressons-nous à la notion d'idéal. Un idéal est une partie d'un anneau stable pour les deux opérations et muni d'une propriété d'absorption pour la multiplication. C'est une sous-structure importante pour un anneau qui va permettre l'étude de sa structure ainsi que la construction de nouveaux anneaux (dits anneaux quotients). Nous donnons la définition uniquement dans le cas d'un anneau commutatif pour ne pas surcharger cette page de présentation.
Définition
Soient

un anneau commutatif et

une partie de

. Alors

est un idéal de

si :
est un sous groupe de
.
.
Début de l'exemple
Exemple
Dans l'anneau

, les sous-ensembles de la forme

sont des idéaux. L'anneau

est alors l'anneau quotient de

par

.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple
Dans l'anneau
![{\displaystyle \mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d740527b0b7f949b4bf9c9ce004134bb490b68)
, les idéaux sont de la forme
![{\displaystyle P(X)\mathbb {R} [X]=\{PQ;~Q\in \mathbb {R} [X]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582d5931b972b7512a10bbba0b2e730e0915d944)
avec
![{\displaystyle P\in \mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73c3091b0cfaa94eecbec01be48bef276cd6f84)
fixé.
Fin de l'exemple
À partir de ces quelques définitions, on peut déjà dégager deux questions importantes lors de l'étude d'un anneau
:
- Quels sont les éléments inversibles de l'anneau, s'il en a ?
- Quels sont les idéaux de l'anneau ? On décline cette question par la recherche d'idéaux possédant des propriétés particulières (premiers, maximaux, etc.).
Remarque
Si le contenu de ce chapitre vous a intéressé, vous pouvez l'approfondir en consultant la leçon spécialisée :
Anneau