Suites et récurrence/Exercices/Sujet de bac S

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007

N.B. Dans le programme officiel maths TS 2011, le « théorème des gendarmes » n'est mentionné qu'au sujet des suites, et est impérativement admis.

Exercice 3

Question de cours

1. Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a;+\infty [$. Compléter la phrase suivante :

On dit que $f$ admet une limite finie $L$ en $+\infty$ si $...$

2. Démontrer le "théorème des gendarmes".

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a;+\infty [$ et $L$ un nombre réel.

Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $L$ quand $x$ tend vers $+\infty$,

et si pour tout $x$ assez grand, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$,

alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $L$.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)=e^{x}-x-1$

et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

La droite $(D)$ d'équation $y=-x-1$ est asymptote à $(C)$.

1. Soit $a$ un nombre réel. Écrire, en fonction de $a$,

une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point $M$ d'abscisse $a$.

Solution

f est dérivable sur $\mathbb {R}$ et $f'(x)=e^{x}-1$.

L'équation de la tangente (T) en $x=a$ est :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

donc

$y=(e^{a}-1)(x-a)+e^{a}-a-1=(e^{a}-1)x-ae^{a}+a+e^{a}-a-1$

finalement (T) a pour équation :

$y=(e^{a}-1)x+e^{a}(1-a)-1$

 

2. Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse $b$. Vérifier que $b-a=-1$.

Solution

L'ordonnée du point d'intesection d'abscisse b vérifie l'équation :

$-b-1=(e^{a}-1)b+e^{a}(1-a)-1$

si et seulement si :

$-b=be^{a}-b+e^{a}(1-a)-1$

si et seulement si :

$0=be^{a}+e^{a}(1-a)$

comme pour tout réel a, $e^{a}$ est non nul, ceci équivaut à :

$0=b+1-a$

si et seulement si :

$b-a=-1$

 

3. En déduire une construction de la tangente $(T)$ à $(C)$au point $M$ d'abscisse 1,5.

Solution

(T) est la droite passant par

$M(1,5;f(1,5))$ et par $N(1,5-1;-(1,5-1)-1)=(0,5;-1,5)$.

 

Partie B

1. Déterminer graphiquement le signe de $f$.

Solution

Pour tout réel x, on constate graphiquement que $f(x)\geq 0$.

En fait f ne s'annule qu'en $x=0$.

 

2. En déduire, pour tout entier naturel non nul $n$, les inégalités suivantes :

$(1)\ e^{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {1}{n}}\ ;\ (2)\ e^{\frac {-1}{n+1}}\geq 1-{\frac {1}{n+1}}$.

Solution

Pour tout entier n strictement positif, en posant $x={\frac {1}{n}}$ dans l'inégalité $f(x)=e^{x}-x-1\geq 0$, on obtient :

$e^{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n}}-1\geq 0$

donc on obtient l'inégalité (1) :

$e^{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {1}{n}}$.

Pour tout entier n strictement positif, en posant $x=-{\frac {1}{n+1}}$ dans l'inégalité $f(x)=e^{x}-x-1\geq 0$, on obtient :

$e^{-{\frac {1}{n+1}}}+{\frac {1}{n+1}}-1\geq 0$

donc il s'ensuit l'inégalité (2) :

$e^{-{\frac {1}{n+1}}}\geq 1-{\frac {1}{n+1}}$

 

3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ :

$(1+{\frac {1}{n}})^{n}\leq e$

Solution

Puisque n est strictement positif, la fonction $x\mapsto x^{n}$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;+\infty [$.

On l'applique aux deux membres de l'inégalité (1) qui est conservée :

${\big (}e^{\frac {1}{n}}{\big )}^{n}\geq {\big (}1+{\frac {1}{n}}{\big )}^{n}$.

donc

$e\geq {\big (}1+{\frac {1}{n}}{\big )}^{n}$

 

4. a) Déduire de l'inégalité (2) l'inégalité (3) suivante :

$e^{\frac {1}{n+1}}\leq {\frac {1}{1-{\frac {1}{n}}}}$

Solution

On a

$e^{-{\frac {1}{n+1}}}\geq 1-{\frac {1}{n+1}}$

Les deux membres sont strictement positifs. En leur appliquant la fonction $x\mapsto {\frac {1}{x}}$, décroissante sur $]0;+\infty [$, l'inégalité change de sens et devient :

$e^{\frac {1}{n+1}}\leq {\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}$

 

b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n :

${\frac {1}{1-{\frac {1}{n}}}}=1+{\frac {1}{n}}$

Solution

Pout tout n strictement positif :

${\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}={\frac {1}{\frac {n+1-1}{n+1}}}$

$={\frac {1}{\frac {n}{n+1}}}$

$={\frac {n+1}{n}}$

$=1+{\frac {1}{n}}$

 

c) En déduire que pour tout entier naturel non nul n :

$e\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n+1}$

Solution

D'après (3) et (4b),

$O<e^{\frac {1}{n+1}}\leq 1+{\frac {1}{n}}$

En appliquant la fonction $x\mapsto x^{n+1}$, croissante sur $[0;+\infty [$, aux deux membres positifs :

$(e^{\frac {1}{n+1}})^{n+1}\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n+1}$

donc

$e\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n+1}$.

 

5. Déterminer à partir des questions précédentes un encadrement de :

$(1+{\frac {1}{n}})^{n}$

puis sa limite en $+\infty$.

Solution

D'après (4c), pour tout n entier strictement positif :

$e\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n+1}$

donc en divisant par $1+{\frac {1}{n}}>0$, on obtient :

${\frac {e}{1+{\frac {1}{n}}}}\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n}$

donc avec (3), on a l'encadrement :

${\frac {e}{1+{\frac {1}{n}}}}\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n}\leq e$.

Or $\lim _{n\to +\infty }({\frac {e}{1+{\frac {1}{n}}}})=e$ et $\lim _{n\to +\infty }e=e$

donc d’après le théorème "des gendarmes" :

$\lim _{n\to +\infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}=e$