Suites et séries de fonctions/Exercices/Séries de fonctions

Exercice 2-1

Soit $D$ un ensemble au plus dénombrable de réels. Construire une fonction croissante $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dont l'ensemble des points de discontinuité est exactement $D$.

Solution

Choisissons une énumération de $D$ : $d_{0},d_{1},\dots$ (distincts) et posons $f(x)=\sum _{d_{n}<x}{\frac {1}{2^{n}}}$ (série normalement convergente). La fonction $f$ est croissante, comme somme d'une série de fonctions croissantes. Elle est discontinue en tout point de $D$ (en $d_{n}$, elle fait un saut de ${\frac {1}{2^{n}}}$). Elle est continue en tout point $x\notin D$, comme somme d'une série uniformément convergente de fonctions continues en $x$.

 

Exercice 2-2

Étudier la convergence uniforme de la série de terme général $f_{n}(x)=\arctan {\frac {x}{n^{2}+x^{2}}}$.

Solution

Par imparité, on peut se restreindre à $\mathbb {R} ^{+}$, où $f_{n}\geq 0$.

Sur $\left[0,M\right]$, on a convergence normale car $f_{n}(x)\leq {\frac {M}{n^{2}}}$. Mais sur $\mathbb {R} ^{+}$, la convergence n'est pas uniforme.

En effet, la suite de fonctions $(f_{n})$ est décroissante et $f_{n}(n)=\arctan {\frac {1}{2n}}$ donc

$\forall n\leq 2N\quad f_{n}(2N)\geq f_{2N}(2N)=\arctan {1 \over 4N}$,

si bien que

$R_{N}:=\sup _{x\geq 0}\sum _{n>N}f_{n}(x)\geq \sum _{N<n\leq 2N}f_{n}(2N)\geq N\arctan {\frac {1}{4N}}\to {\frac {1}{4}}$,

donc

$\lim R_{N}\geq {\frac {1}{4}}>0$.

 

Exercice 2-3

On rappelle que $\forall k\in \mathbb {N} \quad \int _{0}^{1}(x\ln x)^{k}\,\mathrm {d} x={\frac {(-1)^{k}k!}{(k+1)^{k+1}}}$ (voir par exemple cet exercice, ou le début de ce devoir).

En déduire que :

1. $\int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}$ ;
2. $\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}$.

Solution

1. $\forall x\in \left]0,1\right]\quad x^{-x}=\exp(-x\ln x)=\exp(x|\ln x|)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x|\ln x|)^{k}}{k!}}$ et sur $\left]0,1\right]$, la convergence de cette série est uniforme, car la fonction $x\mapsto x|\ln x|$ est bornée (on peut la majorer explicitement en étudiant ses variations, ou invoquer simplement sa continuité et sa limite finie en 0). Par conséquent (et d'après le rappel)

   $\int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(x|\ln x|)^{k}}{k!}}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)^{k+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}$.

2. De même, sur $\left]0,1\right]$, $x^{x}=\exp(x\ln x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x\ln x)^{k}}{k!}}$ avec convergence uniforme, donc

   $\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(x\ln x)^{k}}{k!}}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{k+1}}}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}$.

Ces deux égalités ont été découvertes en 1697 par Jean Bernoulli. Voir les références de l'article de Wikipédia, dont :

• E. Weisstein, « Sophomore's Dream », sur MathWorld ;
• (par exemple) : William Dunham, The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, 2005 [lire en ligne], chap.3 (« The Bernoullis »)  ;
• et (pour aller plus loin) : Jean Jacquelin, « Sophomore's Dream Function », 2010.