Système d'équations linéaires/Introduction
Notion de système d'équations
modifierExemple 1
modifierUne boulangerie vend des baguettes. Pierre achète trois baguettes et cinq croissants, il paye 7 €. Paul achète deux baguettes et dix croissants, il paye 10 €. Quel est le prix d'une baguette et celui d'un croissant ?
Pour résoudre ce problème, on peut procéder par tâtonnements, mais la méthode risque d’être longue et incertaine. L'algébrisation du problème permet d'obtenir la solution à coup sûr, et en un temps raisonnable.
Il faut commencer par choisir des inconnues. On note l'inconnue représentant le prix d'une baguette, et l'inconnue représentant le prix d'un croissant.
La facture de Pierre se calcule alors de la manière suivante : . Celle de Paul : .
Connaissant le prix payé par Pierre et Paul, on peut affirmer que les inconnues et doivent vérifier simultanément les deux équations :
Le caractère simultané des deux équations est représenté par l'accolade { devant celles-ci.
On dit que les deux équations forment un système de deux équations à deux inconnues.
Exemple 2
modifierUn champ rectangulaire a une aire de 24 m2 et un périmètre de 20 m. Quelles sont les dimensions du champ ?
Tentons de mettre ce problème en équations.
On commence par choisir des inconnues. On note l'inconnue désignant la largeur (en mètres) du champ, et l'inconnue désignant la longueur (en mètres) du champ.
L'aire est alors donnée par la formule , le périmètre par .
Connaissant l'aire et le périmètre du champ, on peut affirmer que les inconnues et doivent vérifier simultanément les deux équations :
On obtient à nouveau un système de deux équations à deux inconnues.
Quelles est la différence entre ces deux systèmes ?
modifierRappelons les deux systèmes obtenus : et
Dans le premier système, les inconnues et apparaissent seulement multipliées par des nombres, alors que dans le deuxième, on voit le produit .
Seul le premier système est dit linéaire, ce sont des systèmes comme celui-ci qui vont être étudiés dans ce cours.
Je vous vois impatient de connaitre le prix d'une baguette et d'un croissant. Pour cela il faudra regarder le chapitre suivant.
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
modifier
Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations à plusieurs inconnues que l’on doit résoudre en même temps.
Le système d'équations est un système de deux équations à deux inconnues.
Résolution d'un système d'équations
modifierRésoudre , c’est trouver toutes les valeurs qu’il faut donner à chaque inconnue en même temps pour que toutes les égalités soient vraies. Dans les chapitres suivants, nous allons étudier deux méthodes, la méthode par substitution et la méthode par combinaison.
