Système d'équations linéaires/Résolution par substitution

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Introduction

La méthode de résolution par substitution est l'une des deux plus simples manières de résoudre un système d'équations linéaires. Formellement, elle consiste à remplacer une inconnue par une combinaison des autres inconnues.

Description et exemple

Pour le petit déjeuner de demain, vous êtes certainement curieux de connaître les prix pratiqués dans cette boulangerie, c’est ce qu'on va faire maintenant.

Résolution détaillée

Au chapitre précédent, on a déduit que le prix $x$ d'une baguette et le prix $y$ d'un croissant sont solutions du système linéaire $\left\{{\begin{array}{l}3x+5y=7\\2x+10y=10\end{array}}\right.$. Il est commode de désigner un système d'équations par une lettre, dans la suite, ce système sera désigné par $({\mathcal {S}})$.

Tenter de résoudre séparément chacune des équations est sans espoir. Par contre, à partir de la première équation, on peut obtenir le prix d'une baguette par rapport à celui d'un croissant : c'est-à-dire qu'on peut exprimer $x$ en fonction de $y$.

À partir de $3x+5y=7$, on isole $x$ dans le membre de gauche :

En retranchant $5y$ dans les deux membres, on obtient $3x=7-5y$

En divisant chaque membre par 3, on obtient $x={\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}y$

Le système $({\mathcal {S}})$ est donc équivalent à $\left\{{\begin{array}{l}x={\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}y\\2x+10y=10\end{array}}\right.$

Chacune des deux équations comporte toujours les deux inconnues, mais en remplaçant le prix d'une baguette par son équivalent en croissant, c'est-à-dire en substituant ${\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}y$ à $x$ dans la deuxième équation, on va pouvoir éliminer une inconnue de la deuxième équation :

$2\left({\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}y\right)+10y=10$

Cette équation ne comporte plus qu'une seule inconnue, c’est une équation linéaire du premier degré.

En développant, on obtient : ${\cfrac {14}{3}}-{\cfrac {10}{3}}y+10y=10$

Puis en regroupant les termes, on obtient : ${\cfrac {14}{3}}+{\cfrac {20}{3}}y=10$

En retranchant ${\cfrac {14}{3}}$ dans les deux membres, on obtient : ${\cfrac {20}{3}}y={\cfrac {16}{3}}$

En divisant chaque membre par ${\cfrac {20}{3}}$, on obtient : $y={\cfrac {16}{20}}=0,8$

Le système $({\mathcal {S}})$ est donc équivalent à $\left\{{\begin{array}{l}x={\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}y\\y=0,8\end{array}}\right.$

Maintenant qu'on connaît le prix d'un croissant, on va pouvoir calculer celui d'une baguette : on substitue 0,8 à $y$ dans la première équation.

$x={\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}\times 0,8=1$

Le système $({\mathcal {S}})$ est donc équivalent à $\left\{{\begin{array}{l}x=1\\y=0,8\end{array}}\right.$

On dit que la solution du système est le couple $(1;0,8)$, et on peut enfin connaître le prix de la baguette et du croissant : une baguette coûte 1 €, et un croissant coûte 0,8 €

Résolution concise

Selon son habitude de la résolution de système, on peut écrire plus ou moins d'étapes, mais toujours sous la forme suivante :

$({\mathcal {S}})$	est équivalent à	$\left\{{\begin{array}{l}3x+5y=7\\2x+10y=10\end{array}}\right.$
	est équivalent à	$\left\{{\begin{array}{l}x={\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}y\\2x+10y=10\end{array}}\right.$
	est équivalent à	$\left\{{\begin{array}{l}x={\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}y\\2\left({\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}y\right)+10y=10\end{array}}\right.$
	est équivalent à	$\left\{{\begin{array}{l}x={\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}y\\y=0,8\end{array}}\right.$
	est équivalent à	$\left\{{\begin{array}{l}x={\cfrac {7}{3}}-{\cfrac {5}{3}}\times 0,8\\y=0,8\end{array}}\right.$
	est équivalent à	$\left\{{\begin{array}{l}x=1\\y=0,8\end{array}}\right.$

La solution du système $({\mathcal {S}})$ est $(0,8;1)$

Cette méthode est assez simple à comprendre. Par contre, elle fait très souvent apparaître de nombreuses fractions au cours des calculs. On va voir dans la partie suivante une méthode qui limite l’utilisation des fractions.

Application de la méthode à des systèmes plus complexes

La méthode de substitution permet également de résoudre des systèmes linéaires comportant un plus grand nombre d'équations et d'inconnues. Attention, la résolution de tels systèmes dépasse le niveau 9.

Début d’un principe

Principe de la résolution par substitution

Lorsqu'on est confronté à un système d'équations linéaires de la forme :

${\begin{cases}x+5y-z=8\\2x-2y+2z=4\\x+y+z=6\end{cases}}$

on peut exprimer une des inconnues en fonction des deux autres. Par exemple, dans la troisième ligne :

$x+y+z=6$

on peut exprimer x de la manière suivante :

$x=6-y-z$

Ensuite, on remplace (on substitue) cette expression dans les deux lignes du dessus, c'est-à-dire :

${\begin{cases}\left(6-y-z\right)+5y-z=8\\2\left(6-y-z\right)-2y+2z=4\\x=6-y-z\end{cases}}$

Développons cette parenthèse :

${\begin{cases}6-y-z+5y-z=8\\12-2y-2z-2y+2z=4\\x=6-y-z\end{cases}}$

Regroupons les termes :

${\begin{cases}6+4y-2z=8\\12-4y=4\\x=6-y-z\end{cases}}$

Séparons les inconnues (x, y, z) et les nombres :

${\begin{cases}4y-2z=8-6=2\\-4y=-8\\x=6-y-z\end{cases}}$

On peut alors trouver l'une des trois inconnues ! En effet, la deuxième ligne donne : $y=2$

Remplaçons cette valeur dans le système :

${\begin{cases}8-2z=2\\y=2\\x=6-2-z=4-z\end{cases}}$

La première ligne donne alors :

$z=3$

Le système s'écrit donc :

${\begin{cases}z=3\\y=2\\x=4-3=1\end{cases}}$

Conclusion : on a entièrement résolu le problème :

${\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}$

Fin du principe

Tentons une définition :

Méthode de résolution par substitution

On effectue les opérations suivantes :

• Étape 1 : Choisir une inconnue (par exemple x) et l'exprimer en fonction des autres.
• Étape 2 : Remplacer (substituer) cette inconnue par son expression dans le système.
• Étape 3 : Développer, réarranger les termes, séparer inconnues et nombres.
• Recommencer avec une autre inconnue jusqu'à ce que le système soit complètement résolu.

Remarques

Faire bien attention, lors de la substitution, aux facteurs multiplicatifs et aux signes ! Il vaut mieux laisser entre parenthèses l’expression de l'inconnue pour éviter des erreurs.