Système d'équations linéaires/Résolution par substitution

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Résolution par substitution
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Chapitre no 2
Leçon : Système d'équations linéaires
Chap. préc. :Introduction
Chap. suiv. :Résolution par combinaison
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Système d'équations linéaires/Résolution par substitution
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IntroductionModifier

La méthode de résolution par substitution est l'une des deux plus simples manières de résoudre un système d'équations linéaires. Formellement, elle consiste à remplacer une inconnue par une combinaison des autres inconnues — nous décrirons cela plus concrètement dans un exemple.

Description et exempleModifier

Pour le petit déjeuner de demain, vous êtes certainement curieux de connaître les prix pratiqués dans cette boulangerie, c’est ce qu'on va maintenant faire.

Résolution détailléeModifier

Au chapitre précédent, on a obtenu que le prix   d'une baguette et le prix   d'un croissant sont solutions du système linéaire  . Il est commode de désigner un système d'équations par une lettre, dans la suite, ce système sera désigné par  .

Tenter de résoudre séparément chacune des équations est sans espoir. Par contre, à partir de la première équation, on peut obtenir le prix d'une baguette par rapport à celui d'un croissant : c'est-à-dire qu'on peut exprimer   en fonction de  .

À partir de  , on isole   dans le membre de gauche :

En retranchant   dans les deux membres, on obtient  

En divisant chaque membre par 3, on obtient  

Le système   est donc équivalent à  

Chacune des deux équations comporte toujours les deux inconnues, mais en remplaçant le prix d'une baguette par son équivalent en croissant, c'est-à-dire en substituant   à   dans la deuxième équation, on va pouvoir éliminer une inconnue de la deuxième équation :

 

Cette équation ne comporte plus qu'une seule inconnue, c’est une équation linéaire du premier degré.

En développant, on obtient :  

Puis en regroupant les termes, on obtient :  

En retranchant   dans les deux membres, on obtient :  

En divisant chaque membre par  , on obtient :  

Le système   est donc équivalent à  

Maintenant qu'on connaît le prix d'un croissant, on va pouvoir calculer celui d'une baguette : on substitue 0,8 à   dans la première équation.

 

Le système   est donc équivalent à  

On dit que la solution du système est le couple  , et on peut enfin connaître le prix de la baguette et du croissant : une baguette coûte 1 €, et un croissant coûte 0,8 €

Résolution conciseModifier

Selon son habitude de la résolution de système, on peut écrire plus on moins d'étapes, mais toujours sous la forme suivante :

  est équivalent à  
est équivalent à  
est équivalent à  
est équivalent à  
est équivalent à  
est équivalent à  

La solution du système   est  

Cette méthode est assez simple à comprendre. Par contre, elle fait très souvent apparaître de nombreuses fractions au cours des calculs. On va voir dans la partie suivante une méthode qui limite l’utilisation des fractions.

Application de la méthode à des systèmes plus complexesModifier

La méthode de substitution permet également de résoudre des systèmes linéaires comportant un plus grand nombre d'équations et d'inconnues. Attention, la résolution de tels systèmes dépasse le niveau 9.

Début d’un principe
Fin du principe


Tentons une définition :


RemarquesModifier

  Faire bien attention lors de la substitution aux facteurs multiplicatifs et aux signes ! Il vaut mieux laisser entre parenthèses l’expression de l'inconnue pour se prévenir de telles erreurs.