Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre
Exercice 2-1
modifierOn considère le système :
Résoudre , en précisant les valeurs de pour lesquelles il est de Cramer.
- Si ,
- Si ,
- Si ,
- Si , n'a pas de solution car la deuxième équation devient .
- Si , est de Cramer et
Exercice 2-2
modifierOn considère le système linéaire
dépendant des paramètres réels .
- Donner une expression factorisée du déterminant de .
- Discuter et résoudre le système .
- .
-
- Si , est de Cramer et sa solution est donnée par :
- Si ,
- donc :
- si , n'a pas de solution ;
- si , l'ensemble des solutions de est la droite affine
.
- Si , est de Cramer et sa solution est donnée par :
Exercice 2-3
modifierRésoudre, en fonction du paramètre , le système
Par la méthode du pivot de Gauss, le système se ramène à
- Si , son unique solution est donc .
- Si , la dernière équation est donc le système n'a pas de solution.
- Si , le système équivaut à donc il a une infinité de solutions : avec réels arbitraires.
Résoudre, en fonction des paramètres , les systèmes
Si , a une unique solution : , .
Si , équivaut à (et ) donc a (dans ) toute une droite affine de solutions.
Si , équivaut à (et une autre équation) donc n'a aucune solution.
Remarque : définit l'intersection de 2 droites dans , parallèles ou sécantes, selon que est égal ou pas à .
Si (c'est-à-dire ), la seconde équation devient , donc a toute une droite affine de solutions.
Si ,
Si , n'a aucune solution.
Si , a (dans ) toute une droite affine de solutions :
Remarque : définit l'intersection de 3 plans dans . Quand on prend les deux premiers, on trouve une droite parallèle au troisième (car de direction ) : soit strictement parallèle, soit incluse, selon que est égal ou pas à .
Exercice 2-4
modifierSoient . Résoudre le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss et en discutant en fonction de la valeur des paramètres :
- Si , donc :
- si , ;
- si , donc .
- Si , donc :
- si , ;
- si , donc .
- Si et , donc :
- si , ;
- si ,
Exercice 2-5
modifierDiscuter selon les valeurs du paramètre , le nombre de solutions du système suivant (on ne cherchera pas à expliciter les solutions) :
- Si et , une seule solution.
- Si , une infinité de solutions.
- Si , pas de solution.
Exercice 2-6
modifierRésoudre, en fonction du paramètre , le système suivant :
- Si , l'ensemble des solutions est .
- Si , on divise les lignes 2 à 5 par :
- Si et , il n'y a pas de solution.
- Si , l'unique solution est .
Exercice 2-7
modifierRésoudre, en fonction du paramètre , le système
- Cas critiques : .
- Si , .
- Si , .
- Si , .
- Si , on commence par on obtient :
On enchaîne avec :
Voir aussi
modifier« Sous-chapitre 200.3 Systèmes linéaires, rang », sur exo7 (choix du module : L2 algèbre ; choix du chapitre : 200 Déterminant, système linéaire)