Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes sans paramètre

Exercice 1-1

Résoudre les systèmes :

$(S_{1}){\begin{cases}x+y-z&=0\\x-y&=0\\x+4y+z&=0\end{cases}}\qquad (S_{2}){\begin{cases}x+y+2z&=5\\x-y-z&=1\\x+z&=3\end{cases}}\qquad (S_{3}){\begin{cases}2x+y+z&=3\\3x-y-2z&=0\\x+y-z&=-2\\x+2y+z&=1\end{cases}}$

$(S_{4}){\begin{cases}x+y+z+t&=1\\x-y+2z-3t&=2\\2x+4z+4t&=3\\2x+2y+3z+8t&=2\\5x+3y+9z+19t&=6\end{cases}}\qquad (S_{5}){\begin{cases}x-y+z+t&=5\\2x+3y+4z+5t&=8\\3x+y-z+t&=7.\end{cases}}$

Solution

$(S_{1})\Leftrightarrow {\begin{cases}y&=x\\2x-z&=0\\5x+z&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}y&=x\\z&=2x\\5x+2x&=0\end{cases}}\Leftrightarrow (x,y,z)=(0,0,0)$.

$(S_{2})\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=3-x\\x+y+2(3-x)&=5\\x-y-(3-x)&=1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=3-x\\-x+y&=-1\\2x-y&=4\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=3-x\\y&=x-1\\x&=3\end{cases}}\Leftrightarrow (x,y,z)=(3,2,0)$.

(Donc ces deux systèmes sont de Cramer.)

$(S_{3})\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y-z&=-2\\2x+y+z&=3\\3x-y-2z&=0\\x+2y+z&=1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y-z&=-2\\-y+3z&=7\\-4y+z&=6\\y+2z&=3\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y-z&=-2\\-y+3z&=7\\-11z&=-22\\5z&=10\end{cases}}\Leftrightarrow z=2,\;y=-1,\;x=1$.

($(S_{3})$ a plus d'équations que d'inconnues mais a quand même une solution, car ces équations sont redondantes.)

$(S_{4})\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y+z+t&=1\\-2y+z-4t&=1\\-2y+2z+2t&=1\\z+6t&=0\\-2y+4z+14t&=1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y+z+t&=1\\-2y+z-4t&=1\\z+6t&=0\\z+6t&=0\\3z+18t&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=-6t\\y&=-5t-{\frac {1}{2}}\\x&=10t+{\frac {3}{2}}.\end{cases}}$

$(S_{5})\Leftrightarrow {\begin{cases}x-y+z+t&=5\\5y+2z+3t&=-2\\4y-4z-2t&=-8\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x-y+z+t&=5\\5y+2z+3t&=-2\\-14y-11t&=-16\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&={\frac {16-11t}{14}}\\y&={\frac {-2-2z-3t}{5}}={\frac {-6-2t}{7}}\\x&=5+y-z-t={\frac {6-t}{2}}.\end{cases}}$

 

Exercice 1-2

Sans chercher à résoudre les systèmes suivants, discuter la nature de leurs ensembles de solutions :

$(S_{1}){\begin{cases}x+y-z&=0\\x-y&=0\\+y+z&=0\end{cases}}\qquad (S_{2}){\begin{cases}x+3y+2z&=1\\2x-2y&=2\\x+y+z&=2\end{cases}}\qquad (S_{3}){\begin{cases}x+3y+2z&=1\\2x-2y&=2\\x+y+z&=1.\end{cases}}$

Solution

Comme tout système homogène, $(S_{1})$ admet $(0,0,0)$ comme solution. C'est la seule car il est de Cramer (déterminant non nul).

$(S_{2})$ n'a aucune solution car $L_{1}-2L_{3}\Rightarrow -x+y=-3$ tandis que $L_{2}\Rightarrow -x+y=-1$.

$(S_{3})$ a toute une droite affine (dans $\mathbb {R} ^{3}$) de solutions car $L_{1}{\text{ et }}L_{3}\Rightarrow L_{2}$.

 

Exercice 1-3

QCM — Test de cours : il y a au moins une réponse exacte par question. Certaines questions nécessitent d'écrire quelques lignes au brouillon.

1. Soit $(S)$ un système linéaire homogène. Alors :
   1. le système $(S)$ possède toujours une infinité de solutions.
   2. il peut arriver que $(S)$ n'ait aucune solution
   3. l'ensemble des solutions de $(S)$ est $\{(0,0,0)\}$
   4. si le système $(S)$ possède une solution non nulle, alors il possède une infinité de solutions.
2. Soit $(S)$ un système d'équations linéaires à 2 inconnues.
   1. il peut arriver que le système $(S)$ possède un cercle non trivial comme ensemble de solutions.
   2. si l'ensemble des solutions contient une droite de $\mathbb {R} ^{2}$ et un point en dehors de cette droite alors l'ensemble des solutions est $\mathbb {R} ^{2}$.
   3. l'ensemble des solutions est soit un point, soit une droite de $\mathbb {R} ^{2}$.
   4. si le système homogène associé à $(S)$ a une unique solution alors $(S)$ a une unique solution.
3. Soit $m$ un paramètre réel. Dans quel cas obtient-on toujours un système équivalent en effectuant :

   $(a)\ L_{1}\leftarrow -3L_{2}\ ?\qquad (b)\ L_{2}\leftarrow mL_{1}-3L_{2}\ ?\qquad (c)\ L_{1}\leftarrow mL_{1}-3L_{2}?$

4. Soit $(S)$ un système de trois équations à trois inconnues. Soit le système $(S')$ obtenu à partir de $(S)$ en effectuant les opérations suivantes sur les lignes du système $(S)$ :

   $\left\{{\begin{array}{rrr}L_{1}&\leftarrow L_{1}-L_{2}\\L_{2}&\leftarrow L_{2}-L_{3}\\L_{3}&\leftarrow L_{3}-L_{1}\end{array}}\right.$ Alors

   1. le système $(S)$ est équivalent au système $(S')$.
   2. les deux systèmes ont même ensemble de solution.
   3. le système $(S)$ n'est pas toujours équivalent au système $(S')$.
   4. le système $(S)$ n'est pas équivalent au système $(S')$ mais ils peuvent avoir même ensemble de solution.
5. L'ensemble des solutions du système : $\left\{{\begin{array}{rrrcl}x&&+z&=&1\\&y&-z&=&0\end{array}}\right.$ est :
   1. $\{(1,0,0)\}$
   2. $\{(0,0,1)\}$
   3. $\{(1,0,0)+t(-1,1,1)\mid t\in \mathbb {R} \}$, c'est-à-dire la droite affine passant par le point $(1,0,0)$ et dirigée par le vecteur $(-1,1,1)$
   4. $\{(2,-2,-2)+t(-1,-1,1))\mid t\in \mathbb {R} \}$ c'est-à-dire la droite affine passant par le point $(2,-2,-2)$ et dirigée par le vecteur $(-1,-1,1)$.

Solution

1 : 4, 2 : 2, 3 : (b), 4 : 3, 5 : 3.

 

Lien externe

« Solveur en ligne de systèmes d'équations », sur dcode.fr (linéaires ou pas, et avec ou sans paramètres)