Systèmes de Cramer/Introduction

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Introduction

Certains systèmes d'équations peuvent être résolus directement lorsqu’ils appartiennent à une catégorie particulière : les systèmes de Cramer. Nous utilisons ici la notation en matrices.

Rappel

Début d’un principe

Principe

Pour pouvoir résoudre un système d'équations, il faut et il suffit que le nombre d'équations (linéairement indépendantes) dont on dispose égale le nombre d'inconnues du problème.

Fin du principe

Des équations sont linéairement indépendantes si elles ne sont pas égales à un facteur multiplicatif près.

Exemple

Soit le système d'équations :

$(S)={\begin{cases}3x+y=5\\4x-y=9\end{cases}}$

On peut le résoudre avec des outils élémentaires. On a en effet, dans la deuxième ligne : $y=4x-9$ Par substitution dans la première ligne : $3x+\left(4x-9\right)=3x+4x-9=7x-9=5$ Ce qui donne x = 2, donc y = –1.

Cela s'interprète géométriquement comme : les deux droites du plan $\mathbb {R} ^{2}$ définies par les deux équations du système sont sécantes au point (2, –1).

Nous verrons qu'il est possible de le résoudre par la méthode de Cramer également.

Définition

Pour définir un système de Cramer, réécrivons l'exemple ci-dessus :

$(S)={\begin{cases}3x+y=5\\4x-y=9\end{cases}}$

Ce système d'équations peut être réécrit avec des matrices :

${\begin{pmatrix}3&1\\4&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\9\end{pmatrix}}$

Posons donc la matrice A et les vecteurs X et B, pour pouvoir écrire la même chose ainsi : $\mathbf {A} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {B}$

Supposons enfin que la matrice A est inversible, alors il existe une unique solution : $\mathbf {X} =\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {B}$

Définition

On appelle système de Cramer tout système d'équations linéaires dont la matrice est inversible.

Pour l'exemple, continuons le calcul en inversant A : ${\begin{aligned}\mathbf {A} ^{-1}&={\frac {1}{\mathrm {det} \,\mathbf {A} }}{\begin{pmatrix}-1&-1\\-4&3\end{pmatrix}}\\\ &=-{\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}-1&-1\\-4&3\end{pmatrix}}\\\ &={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}1&1\\4&-3\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Calculons enfin X : $\mathbf {X} =\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {B} ={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}1&1\\4&-3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}5\\9\end{pmatrix}}={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}14\\-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$

Certes, sur cet exemple, l’intérêt de la méthode de Cramer n’est pas criant — il s'agit toutefois d'une méthode systématique qui se généralise à tous les ordres.

Propriétés

Propriété

Un système de Cramer admet toujours une solution, et cette solution est unique.

On peut d'ailleurs donner une expression plus sympathique de la solution, qui ne nécessite pas d'inverser la matrice A — mais qui nécessite toujours qu'elle soit inversible, bien entendu. En effet, si on note $x_{1},\ldots ,x_{k}$ les inconnues, alors :

$x_{k}={\frac {\det \,\mathbf {A} _{k}}{\det \,\mathbf {A} }}$

où la matrice A_k est la matrice A dont on a remplacé la k-ième colonne par le vecteur B.

Remarquons qu’il faut calculer k fois (k + 1 fois en fait) le déterminant d'une matrice pour obtenir ce résultat (on ferait autant de calcul avec l'inversion). La méthode de Cramer est utilisable pour des calculs manuels, mais complètement inefficace en termes de temps. On lui préfèrera systématiquement une méthode alternative, comme l'élimination de Gauss-Jordan par exemple. Remarquons que cette dernière méthode est également envisageable en calcul manuel.

Néanmoins, si A est inversible, alors on sait que le système est un système de Cramer, donc que le système admet une unique solution.

Début d’un principe

Mise en garde

Attention ! Ce n’est pas parce qu'un système n’est pas de Cramer qu’il n'admet pas de solution ! Un contre-exemple est : $x-y=0$ $x-y=0$

Le déterminant est nul (donc A n’est pas inversible), mais tout couple tel que x = y est solution...

Fin du principe