Systèmes et représentations/Fonction de transfert

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Définition

La transformée de Laplace permet de définir la fonction de transfert d'un système linéaire régi par un système d'équations différentielles à coefficients constants, ce qui est impossible avec les équations temporelles.

Soit le système suivant, avec $e(t)$ en entrée et $s(t)$ en sortie :

$a_{n}{\frac {d^{n}\,s(t)}{dt^{n}}}+\ldots +a_{1}{\frac {d\,s(t)}{dt}}+a_{0}\,s(t)=b_{m}{\frac {d^{m}e(t)}{dt^{m}}}+\ldots +b_{1}{\frac {d\,e(t)}{dt}}+b_{0}\,e(t)$

En utilisant les propriétés de la transformation de Laplace, on obtient :

• ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{m}\,e(t)}{dt}}\right]=p^{m}\,E(p)-p^{m-1}\,e(0^{+})-p^{m-2}\,e^{(1)}(0^{+})-e^{(m-1)}(0^{+})$
• ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{n}\,s(t)}{dt}}\right]=p^{n}\,S(p)-p^{n-1}\,s(0^{+})-p^{n-2}\,s^{(1)}(0^{+})-s^{(n-1)}(0^{+})$

Si on se place dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles, on a :

• ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{m}\,e(t)}{dt}}\right]=p^{m}\,E(p)$
• ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{n}\,s(t)}{dt}}\right]=p^{n}\,S(p)$

L'équation générale devient donc :

$S(p)\times \left[a_{n}\,p^{n}+\ldots +a_{1}\,p+a_{0}\right]=E(p)\times \left[b_{m}\,p^{m}+\ldots +b_{1}\,p+b_{0}\right]$

En posant $S(p)=H(p)\times E(p)$, il vient : $H(p)={\frac {b_{m}\,p^{m}+\ldots +b_{1}\,p+b_{0}}{a_{n}\,p^{n}+\ldots +a_{1}\,p+a_{0}}}$.

La fonction H est appelée fonction de transfert (ou transmittance) du système. Son unité physique dépend du rapport de l'unité de E et de l'unité de S.

Par exemple, pour une résistance, si S représente la tension à ses bornes et E l'intensité du courant la parcourant, alors H a pour unité des ohms ($\Omega$).

Ordre, pôles et zéros

Le comportement dynamique d'un système est entièrement régi par les pôles et les zéros de la fonction de transfert.

On pose : $H(p)={\frac {b_{m}\,p^{m}+\ldots +b_{1}\,p+b_{0}}{a_{n}\,p^{n}+\ldots +a_{1}\,p+a_{0}}}={\frac {N(p)}{D(p)}}$

Sous cette forme, la fonction de transfert s'exprime comme une fonction rationnelle en p. On note N le numérateur et D le dénominateur.

Ordre

L'ordre de la fonction de transfert est le degré du polynôme D. Avec les notations précédentes, la fonction de transfert étudiée est d'ordre n.

Zéros

Les zéros de la fonction de transfert H sont les racines complexes $z_{1}$, $z_{2}$, ..., $z_{m}$ de la fonction N :

$N(p)=b_{m}\times \left(p-z_{1}\right)\left(p-z_{2}\right)\ldots \left(p-z_{m}\right)$

Pôles

Les pôles de la fonction de transfert H sont les racines complexes $p_{1}$, $p_{2}$, ..., $p_{n}$ de la fonction D :

$D(p)=a_{n}\times \left(p-p_{1}\right)\left(p-p_{2}\right)\ldots \left(p-p_{n}\right)$

Système intégrateur / Système dérivateur

Un système est dit dérivateur lorsqu’il possède un zéro nul. H se factorise donc par p.

Un système est dit intégrateur lorsqu’il possède un pôle nul. H se factorise donc par 1/p.

Retour au domaine temporel

Il est difficile de revenir au domaine temporel depuis la fonction de transfert sous sa forme "brute". On la décompose donc en fonctions élémentaires :

$H(p)={\frac {N(p)}{D(p)}}=G\times {\frac {\left(p-z_{1}\right)\left(p-z_{2}\right)\ldots \left(p-z_{m}\right)}{\left(p-p_{1}\right)\left(p-p_{2}\right)\ldots \left(p-p_{n}\right)}}$

Avec G le gain statique :

$G={\frac {b_{m}}{a_{n}}}$

On obtient après calculs une expression de la forme :

$H(p)={\frac {A_{n}}{p-p_{n}}}+\ldots +{\frac {A_{i}}{p-p_{i}}}+\ldots +{\frac {A_{1}}{p-p_{1}}}$

En utilisant la table donnée ci-dessus, on retrouve l’expression temporelle :

$h(t)=A_{n}\times e^{p_{n}\times t}+\ldots +A_{i}\times e^{p_{i}\times t}+\ldots +A_{1}\times e^{p_{1}\times t}$